Что делает этот инструмент
Генератор выдаёт набор псевдослучайных чисел, подчиняющихся гамма-распределению с заданными параметром формы a и параметром масштаба b. Гамма-распределение — это непрерывное, строго положительное распределение, которое широко применяют в теории надёжности, теории массового обслуживания, байесовской статистике (в роли сопряжённого априорного распределения), при моделировании осадков и страховых выплат, а также везде, где встречаются времена ожидания или положительные величины с правосторонней асимметрией. Это универсальный математический инструмент, не привязанный к какой-либо стране.
Как пользоваться
Укажите параметр формы a (должен быть больше 0), параметр масштаба b (тоже больше 0) и количество нужных значений (от 1 до 1000). Выберите, сколько значащих цифр выводить. Нажмите «Рассчитать» — и вы получите упорядоченный список сгенерированных значений, а также выборочные среднее и дисперсию. Они выводятся рядом с теоретическими средним и дисперсией, чтобы вы могли быстро проверить корректность результата.
Формула
Плотность распределения задаётся как $$f(x; a, b) = \frac{1}{\Gamma(a)\cdot b} \cdot \left(\frac{x}{b}\right)^{a-1} \cdot e^{-x/b}, \quad x > 0$$ где \(\Gamma(a)\) — гамма-функция. В этой параметризации через масштаб среднее равно \(a\cdot b\), а дисперсия — \(a\cdot b^2\). Обратите внимание: \(b\) — это масштаб, а не интенсивность. Если в другой библиотеке используется интенсивность \(\lambda = 1/b\), задайте \(b = 1/\lambda\). Для генерации применяется метод сжатия Марсальи — Цанга при \(a \ge 1\) и поправка через степень равномерной величины при \(a < 1\). Каждое значение единичного масштаба умножается на \(b\), чтобы применить нужный масштаб.
Разбор примера
При \(a = 3\), \(b = 1\) и количестве 10 каждое значение — это выборка из \(\text{Gamma}(3, 1)\). Теоретическое среднее равно \(a\cdot b = 3\), теоретическая дисперсия — \(a\cdot b^2 = 3\) (стандартное отклонение \(\approx 1{,}732\)). Реалистичный набор значений в среднем будет около 3 с разбросом порядка 1,7. Если задать \(a = 2\), \(b = 5\), среднее станет равным 10, а дисперсия — 50; при этом все значения остаются строго положительными.
Частые вопросы
Почему числа меняются при каждом запуске? Результат случаен, поэтому без фиксированного зерна (seed) значения будут разными при каждом расчёте. А вот выборочные среднее и дисперсия должны оставаться близкими к теоретическим.
Что будет при \(a = 1\)? \(\text{Gamma}(1, b)\) — это показательное (экспоненциальное) распределение со средним \(b\). Целые значения \(a\) дают распределение Эрланга.
\(b\) — это интенсивность или масштаб? Это масштаб. Среднее равно \(a\cdot b\), поэтому чем больше \(b\), тем сильнее распределение «растягивается» в сторону больших значений.
