ما الذي تقدّمه هذه الأداة
يولّد هذا المولّد قائمة من الأرقام شبه العشوائية التي تتبع توزيع غاما بمعامل شكل مختار a ومعامل مقياس b. توزيع غاما توزيع متصل وموجب تمامًا، ويُستخدم على نطاق واسع في هندسة الموثوقية ونظرية الطوابير والإحصاء البايزي (بوصفه توزيعًا مرافقًا سابقًا)، إضافةً إلى نمذجة هطول الأمطار والتأمين، وفي كل موضع تظهر فيه أزمنة الانتظار أو الكميات الموجبة الملتوية. وهو أداة رياضية كونية لا تخصّ أي بلد بعينه.
طريقة الاستخدام
أدخل معامل الشكل a (يجب أن يكون أكبر من 0)، ومعامل المقياس b (يجب أن يكون أكبر من 0)، وعدد القيم التي تريد توليدها (من 1 إلى 1000). ثم اختر عدد الأرقام المعنوية المراد عرضها. اضغط على "احسب" لتحصل على قائمة مرتّبة من القيم المسحوبة، إلى جانب المتوسط والتباين للعينة، معروضين بجانب المتوسط والتباين النظريين حتى تتمكّن من التحقق من سلامة النتائج.
الصيغة الرياضية
دالة الكثافة هي $$f(x; a, b) = \frac{1}{\Gamma(a)\cdot b} \cdot \left(\frac{x}{b}\right)^{a-1} \cdot e^{-x/b}$$ عندما \(x > 0\)، حيث \(\Gamma(a)\) هي دالة غاما. في هذه الصياغة القائمة على معامل المقياس، يكون المتوسط \(a\cdot b\) ويكون التباين \(a\cdot b^2\). لاحظ أنّ \(b\) هو مقياس وليس معدّلًا؛ فإذا كانت مكتبة أخرى تستخدم المعدّل \(\lambda = 1/b\)، فاضبط \(b = 1/\lambda\). يعتمد سحب العيّنات على طريقة الضغط (Squeeze) لِـ Marsaglia-Tsang عندما \(a \ge 1\)، مع تعزيز عبر قوّة متغيّر منتظم عندما \(a < 1\). وتُضرب كل قيمة بمقياس وحدة في \(b\) لتطبيق المقياس.
مثال محلول
بِأخذ \(a = 3\) و \(b = 1\) وعدد = 10، تكون كل قيمة عيّنة من \(\text{Gamma}(3,1)\). المتوسط النظري هو \(a\cdot b = 3\)، والتباين النظري هو \(a\cdot b^2 = 3\) (الانحراف المعياري \(\approx 1.732\)). من المعقول أن يكون متوسط مجموعة القيم قريبًا من 3 وانتشارها نحو 1.7. وعند التغيير إلى \(a = 2\) و \(b = 5\) يصبح المتوسط 10 والتباين 50؛ وتبقى القيم موجبة تمامًا.
الأسئلة الشائعة
لماذا تتغيّر الأرقام في كل مرة؟ النتائج عشوائية، لذا تختلف القيم في كل تشغيل ما لم تُستخدم بذرة (Seed) ثابتة. أما المتوسط والتباين للعينة فيجب أن يبقيا قريبين من القيم النظرية.
ماذا لو كان \(a = 1\)؟ عندئذٍ يصبح \(\text{Gamma}(1, b)\) هو التوزيع الأسّي (Exponential) بمتوسط قدره \(b\). والقيم الصحيحة لـ \(a\) تعطي توزيع إرلانغ (Erlang).
هل \(b\) معدّل أم مقياس؟ إنه مقياس. فالمتوسط يساوي \(a\cdot b\)، وبالتالي كلما زاد \(b\) اتسع التوزيع نحو قيم أكبر.
