ما الذي تقدّمه هذه الأداة
تولّد هذه الأداة قائمة من الأرقام شبه العشوائية التي تتبع التوزيع الطبيعي (الغاوسي) بمتوسط وانحراف معياري من اختيارك. وهي تعتمد على تحويل بوكس-مولر الكلاسيكي، وهو أسلوب بسيط ودقيق لتحويل الأرقام العشوائية ذات التوزيع المنتظم إلى أرقام بتوزيع طبيعي. والمخرج الأساسي هنا هو قائمة من القيم مفصولة بفواصل، كل قيمة منها مسحوبة من التوزيع N(μ, σ²).
طريقة الاستخدام
أدخل المتوسط (μ) — وهو مركز التوزيع — ثم الانحراف المعياري (σ) — وهو مقدار تشتّت القيم. حدّد عدد الأرقام التي تريدها (من 1 إلى 1000) واختر دقة العرض بعدد الأرقام المعنوية. كل عملية تشغيل عشوائية بطبيعتها، لذا ستحصل على مجموعة جديدة من الأرقام في كل مرة ترسل فيها الطلب.
شرح المعادلة
اسحب رقمين منتظمين مستقلين U1 وU2 ضمن الفترة المفتوحة (0,1). يحوّلهما تحويل بوكس-مولر إلى متغيّرين مستقلين بتوزيع طبيعي قياسي: Z1 = √(−2·ln U1)·cos(2πU2) وZ2 = √(−2·ln U1)·sin(2πU2). وبذلك تنتج كل دورة قيمتين طبيعيتين دفعة واحدة. ثم نعيد تحجيم كل قيمة طبيعية قياسية عبر X = μ + σ·Z. ولتجنّب ln(0) = −∞، نضع حماية على U1 بحيث لا يساوي الصفر أبدًا.
مثال محلول
لنفترض أن μ = 100 وσ = 15، وأن U1 = 0.5 وU2 = 0.25. عندئذٍ √(−2·ln 0.5) = √1.386294 = 1.177410. وبما أن cos(π/2) = 0 وsin(π/2) = 1، نحصل على Z1 = 0 وZ2 = 1.177410. وبالتالي X1 = 100 + 15·0 = 100 وX2 = 100 + 15·1.177410 = 117.66115. وعبر عدد كبير من الأزواج، يقترب متوسط العينة من 100 ويقترب انحرافها المعياري من 15.
قاعدة 68-95-99.7 (القاعدة التجريبية)
بالنسبة لأي توزيع طبيعي \(N(\mu, \sigma^2)\)، يقع نسبة محددة وقابلة للتنبؤ من القيم ضمن عدد ثابت من الانحرافات المعيارية عن المتوسط. هذه هي القاعدة التجريبية، وهي فحص سلامة مفيد للأرقام التي تنتجها: مع عينة كبيرة بما يكفي، يجب أن تظهر النسب أدناه تلقائياً.
| الفترة | نطاق القيمة | النسبة داخل الفترة | النسبة في الذيول |
|---|---|---|---|
| \(\pm 1\sigma\) | \(\mu - \sigma\) إلى \(\mu + \sigma\) | 68.27% | 31.73% |
| \(\pm 2\sigma\) | \(\mu - 2\sigma\) إلى \(\mu + 2\sigma\) | 95.45% | 4.55% |
| \(\pm 3\sigma\) | \(\mu - 3\sigma\) إلى \(\mu + 3\sigma\) | 99.73% | 0.27% |
مثال: إذا قمت بتوليد أرقام بـ \(\mu = 100\) و \(\sigma = 15\)، فيجب أن تقع حوالي 68% من القيم بين 85 و 115، وحوالي 95% بين 70 و 130، وحوالي 99.7% بين 55 و 145. تتوقع القيم خارج \(\pm 3\sigma\) (أقل من 55 أو أعلى من 145 هنا) فقط حوالي 3 مرات من أصل 1,000 رسمة.
تفسير الأرقام المُولَّدة لديك
يُنتج تحويل Box-Muller قيماً تتبع توزيعاً طبيعياً (غاوسياً) متمركزاً عند المتوسط المختار \(\mu\) مع انتشار محدد بواسطة الانحراف المعياري \(\sigma\). اقرأها مع مراعاة هذه الحقائق:
- معظم القيم تتجمع بالقرب من المتوسط. الشكل الجرسي هو الأكثر كثافة عند \(\mu\)، لذا فإن الرسمة النموذجية قريبة من \(\mu\)؛ يقع حوالي ثلثي القيم ضمن انحراف معياري واحد منها.
- القيم القصوى نادرة لكنها ممكنة. القيمة البعيدة جداً في الذيل (مثلاً بعد \(3\sigma\)) غير معتادة وليست مستحيلة — تحدث حوالي 0.27% من الوقت. رؤية قيمة شاذة عرضية هو سلوك طبيعي، وليس خطأ.
- إحصائيات العينة تتقارب مع نمو \(n\). بالنسبة لعدد صغير، يمكن لمتوسط العينة والانحراف المعياري للعينة أن يختلفا بشكل ملحوظ عن \(\mu\) و \(\sigma\) بالصدفة. عند زيادة
count، يقترب متوسط العينة من \(\mu\) ويقترب الانحراف المعياري للعينة من \(\sigma\) (قانون الأعداد الكبيرة). يمكنك لصق دفعة في حاسبة المتوسط الحسابي أو حاسبة الانحراف المعياري للمجتمع لتؤكد أن القيم تنجرف نحو أهدافك. - هذا للمحاكاة والاختبار. هذه رسومات عشوائية زائفة موجهة لتجارب مونت كارلو واختبارات التحميل/الإجهاد والتعليم والنمذجة — وليست قياسات فعلية لأي كمية حقيقية في العالم الحقيقي. الأرقام لا تحمل أي معنى تجريبي بعيداً عن التوزيع الذي حددته.
التعريفات والمسرد
- المتوسط (\(\mu\))
- المركز، أو القيمة المتوقعة، للتوزيع — المتوسط الذي تتوازن حوله القيم المُولَّدة.
- الانحراف المعياري (\(\sigma\))
- مقياس الانتشار بنفس وحدات البيانات. يُنتج \(\sigma\) الأكبر قيماً متناثرة أكثر عن المتوسط.
- التباين (\(\sigma^2\))
- مربع الانحراف المعياري، \(\sigma^2\). يحدد الانتشار بوحدات مربعة وهو المعامل الذي يظهر في رمز التوزيع \(N(\mu, \sigma^2)\).
- التوزيع الطبيعي المعياري، \(N(0,1)\)
- التوزيع الطبيعي الخاص ذو المتوسط 0 والانحراف المعياري 1. يتم إعادة تحجيم أي قيمة \(Z\) مسحوبة منه إلى توزيعك عبر \(X = \mu + \sigma Z\).
- التوزيع المنتظم
- توزيع تكون فيه كل قيمة في فترة (هنا، \((0,1)\)) متساوية الاحتمال. تبدأ طريقة Box-Muller من رسمتين موحدتين مستقلتين \(U_1\) و \(U_2\).
- درجة Z
- العدد الموقعي للانحرافات المعيارية التي تقع بها القيمة من المتوسط، \(Z = (X - \mu)/\sigma\). درجة Z تساوي 0 تعني تماماً عند المتوسط؛ \(\pm 2\) تحدد حافة المركز 95.45%.
- عشوائي زائف
- يُنتج بواسطة خوارزمية حتمية تُنتج متسلسلات بها خصائص إحصائية العشوائية. يبدو الناتج عشوائياً ويمر اختبارات إحصائية لكنه قابل للتكرار بالكامل من نفس البذرة.
- تحويل Box-Muller
- طريقة تحول رقمين عشوائيين موحدين مستقلين \(U_1, U_2\) إلى قيمة طبيعية معيارية باستخدام \(Z = \sqrt{-2\ln U_1}\,\cos(2\pi U_2)\)، والتي يتم بعد ذلك إزاحتها وتحجيمها للمتوسط والانحراف المعياري المطلوب.
الأسئلة الشائعة
لماذا تتغيّر الأرقام في كل مرة؟ يستخدم المولّد سحوبات منتظمة جديدة دون بذرة ثابتة، لذا فإن المخرجات عشوائية بحكم التصميم.
ماذا لو جعلت σ = 0؟ يصبح التوزيع منحلًّا، وتساوي كل قيمة مولّدة المتوسطَ نفسه.
لماذا لا يساوي متوسط عينتي قيمة μ بالضبط؟ ينتج عن المعاينة العشوائية خطأ معاينة؛ وكلما ولّدت عددًا أكبر من الأرقام، اقترب متوسط العينة وانحرافها المعياري أكثر من μ وσ.
