ما هو عدد بايو؟
عدد بايو (Bi) كمية لابُعدية تُستخدم في تحليل التوصيل الحراري العابر (غير المستقر). وهو يقارن بين مقاومة انتقال الحرارة داخل الجسم (عن طريق التوصيل) ومقاومتها عند سطحه (عن طريق الحمل الحراري). فعندما يكون عدد بايو صغيرًا، يعني ذلك أن الجسم ينقل الحرارة داخليًا بسرعة أكبر بكثير من فقدانه لها إلى الوسط المحيط، ومن ثم تبقى درجة حرارته شبه منتظمة أثناء التسخين أو التبريد.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ثلاث قيم: معامل انتقال الحرارة بالحمل h (واط/م²·كلفن)، والطول المميز Lc (م)، والموصلية الحرارية k (واط/م·كلفن) للمادة الصلبة. وتُعطيك الحاسبة قيمة \(\text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{Lc}}{\text{k}}\)، وتخبرك بما إذا كانت طريقة السعة المجمّعة (lumped capacitance) الشائعة قابلة للتطبيق في حالتك.
شرح المعادلة
المعادلة الحاكمة هي $$\text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{L}_c}{\text{k}}$$ وعادةً ما يُؤخذ الطول المميز Lc على أنه الحجم مقسومًا على المساحة السطحية (V/A): فبالنسبة لصفيحة سُمكها L تُبرَّد من جهة واحدة يكون \(\text{Lc} = \text{L}\)، وبالنسبة لكرة نصف قطرها r يكون \(r/3\)، وبالنسبة لأسطوانة طويلة يكون \(r/2\). وعندما يكون \(\text{Bi} < 0.1\)، تصبح التدرجات الحرارية الداخلية مهمَلة، ويمكنك التعامل مع الجسم باعتباره عقدة حرارية واحدة مجمّعة.
مثال محلول
قطعة معدنية بقيم h = 10 واط/م²·كلفن، وLc = 0.05 م، وk = 200 واط/م·كلفن، يكون عدد بايو لها: $$\text{Bi} = \frac{10 \times 0.05}{200} = \frac{0.5}{200} = 0.0025$$ وبما أن \(0.0025 < 0.1\)، فإن طريقة السعة المجمّعة صالحة هنا.
طول التميز (Lc) حسب الهندسة
لتحليل السعة المركزة، يُعرّف طول التميز بأنه النسبة بين حجم الجسم الصلب إلى مساحة سطحه المعرض للحمل الحراري، \(L_c = V/A_s\). إن استخدام هذا التعريف المتسق يحافظ على معيار بيوت (Bi<0.1\)) قابلاً للمقارنة مباشرة بين الأشكال المختلفة. بدلاً من ذلك، تستخدم بعض الكتب المدرسية نصف القطر الكامل أو نصف السماكة لحلول المتسلسلات أحادية الحد وحلول مخطط هايسلر؛ يتم عرض كلا الاتفاقيتين أدناه.
| الهندسة | البعد المحدد | \(L_c = V/A_s\) | اتفاقية طول التوصيل |
|---|---|---|---|
| الجدار المستوي، كلا الوجهين مبردين | السماكة \(2L\) | \(L\) | نصف السماكة \(L\) |
| الجدار المستوي / اللوح، أحد الوجهين معزول | السماكة \(L\) | \(L\) | السماكة \(L\) |
| الأسطوانة الطويلة (نصف القطر \(r\)) | نصف القطر \(r\) | \(r/2\) | نصف القطر \(r\) |
| الكرة (نصف القطر \(r\)) | نصف القطر \(r\) | \(r/3\) | نصف القطر \(r\) |
| المكعب (الضلع \(a\)) | الضلع \(a\) | \(a/6\) | نصف الضلع \(a/2\) |
فحص عملي: لكرة نصف قطرها \(r=0.02\text{ m}\)، \(L_c = r/3 = 0.02/3 \approx 0.00667\text{ m}\). لأسطوانة طويلة بنفس نصف القطر، \(L_c = r/2 = 0.01\text{ m}\).
تفسير رقم بيوت الخاص بك
رقم بيوت يقارن بين مقاومة التوصيل الداخلية \((L_c/k)\) ومقاومة الحمل الحراري الخارجية \((1/h)\). إنه يخبرك ما إذا كان الجسم الصلب يسخن أو يبرد بدرجة حرارة داخلية موحدة تقريباً أم مع وجود تدرجات داخلية كبيرة.
| نطاق بيوت | المعنى الفيزيائي | التحليل الموصى به |
|---|---|---|
| \(\text{Bi}<0.1\) | مقاومة التوصيل الداخلي مهملة؛ تكون درجة حرارة الجسم موحدة بشكل أساسي في أي لحظة. | نموذج السعة المركزة صحيح؛ استخدم الانحلال الأسي \(\theta/\theta_0 = e^{-t/\tau}\) مع \(\tau = \rho V c_p / (h A_s)\). |
| \(0.1<\text{Bi}<\sim 10\) | توجد تدرجات درجة حرارة داخلية محدودة؛ لا تسيطر أي من المقاومتين. | استخدم تقريب المدة الواحدة أو حلول مخطط هايسلر/التوصيل العابر للهندسة المناسبة. |
| \(\text{Bi}>\sim 10\) | مقاومة الحمل الحراري مهملة؛ تكون درجة حرارة السطح موثوقة بشكل أساسي بدرجة حرارة السائل. | يتم التحكم به بالتوصيل؛ عامل السطح كشرط حدي متساوي الحرارة (\(T_s \approx T_\infty\)). |
عتبة الهندسة المستخدمة على نطاق واسع من \(\text{Bi}=0.1\) تحافظ على خطأ نموذج السعة المركزة في درجة الحرارة تحت ما يقرب من 5٪. تحت هذه القيمة، يكون النموذج البسيط أحادي العقدة مريحاً ودقيقاً.
المصطلحات والمتغيرات الرئيسية
- معامل نقل الحرارة بالحمل الحراري، \(h\) (W/m²·K)
- معدل تبادل الحرارة بين سطح الجسم الصلب والسائل المحيط لكل وحدة مساحة لكل درجة فرق درجة حرارة. أكبر للحمل الحراري القسري وللسوائل مقارنة بالهواء الساكن.
- طول التميز، \(L_c\) (m)
- الحجم الهندسي للجسم الصلب، معرّف بأنه \(L_c = V/A_s\) لتحليل السعة المركزة. يمثل المسافة النموذجية التي يجب أن توصل الحرارة داخلياً.
- التوصيلية الحرارية للجسم الصلب، \(k\) (W/m·K)
- القدرة الجوهرية للجسم الصلب على توصيل الحرارة. لاحظ أن \(k\) في رقم بيوت هي تلك الخاصة بـ جسم الصلب، وليس السائل المحيط.
- رقم بيوت، \(\text{Bi}\) (بلا أبعاد)
- \(\text{Bi}=hL_c/k\)؛ النسبة بين مقاومة التوصيل الداخلية ومقاومة الحمل الحراري السطحي.
- السعة المركزة
- تثالاً يعامل الجسم كله كعقدة درجة حرارة موحدة واحدة، صحيح عندما \(\text{Bi}<0.1\).
بيوت مقابل نسلت: يشترك الاثنان في الشكل \(hL/k\) لكن يستخدم \(k\) مختلف. يستخدم رقم بيوت التوصيلية الجسم الصلب ويقيس المقاومة الداخلية مقابل السطح. يستخدم رقم نسلت التوصيلية السائل ويقيس نقل الحرارة بالحمل الحراري مقابل التوصيلي في السائل، لذلك نفس \(h\) و \(L\) يعطيان قيماً مختلفة جداً.
الأسئلة الشائعة
لماذا يُعتمد على القاعدة التقريبية \(\text{Bi} < 0.1\)؟ لأن التباين في درجة الحرارة داخل الجسم الصلب يكون عند هذا الحد أقل من نحو 5%، وهو فارق صغير بما يكفي ليُهمَل في معظم التطبيقات الهندسية.
ما الفرق بين عدد بايو وعدد نسلت (Nusselt)؟ كلاهما يستخدم الصيغة \(\text{h} \cdot \text{L} / \text{k}\)، لكن عدد بايو يعتمد على موصلية المادة الصلبة، بينما يعتمد عدد نسلت على موصلية المائع.
ماذا لو كانت قيمة k صفرًا؟ لا يمكن أن تكون الموصلية الحرارية صفرًا لأي مادة حقيقية؛ ولذلك تتجنب الحاسبة القسمة على صفر وتُعيد القيمة 0 في هذه الحالة.
