बायो संख्या क्या है?
बायो संख्या (Bi) एक विमारहित (dimensionless) राशि है जिसका उपयोग अस्थायी (transient) ऊष्मा चालन विश्लेषण में किया जाता है। यह किसी वस्तु के अंदर ऊष्मा स्थानांतरण के प्रतिरोध (चालन) की तुलना उसकी सतह पर मौजूद प्रतिरोध (संवहन) से करती है। छोटी बायो संख्या का अर्थ है कि वस्तु अपने अंदर ऊष्मा को इतनी तेज़ी से संचालित करती है कि वह सतह से वातावरण में जितनी तेज़ी से खोती है, उससे कहीं अधिक तेज़ है — इसलिए गर्म या ठंडा होते समय उसका तापमान लगभग एक समान बना रहता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
तीन मान दर्ज करें: संवहन ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक h (W/m²·K), अभिलक्षणिक लंबाई Lc (m), और ठोस की तापीय चालकता k (W/m·K)। कैलकुलेटर \(\text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{L}_c}{\text{k}}\) की गणना करता है और बताता है कि प्रचलित lumped-capacitance सन्निकटन (approximation) लागू होता है या नहीं।
सूत्र की व्याख्या
मूल समीकरण है
$$\text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{L}_c}{\text{k}}$$अभिलक्षणिक लंबाई \(\text{L}_c\) को आमतौर पर आयतन और सतह क्षेत्रफल के अनुपात (\(V/A\)) के रूप में लिया जाता है: एक तरफ से ठंडी होने वाली \(L\) मोटाई की पट्टी (slab) के लिए यह \(L\) होती है; \(r\) त्रिज्या के गोले के लिए \(r/3\); और लंबे बेलन (cylinder) के लिए \(r/2\) होती है। जब \(\text{Bi} < 0.1\) हो, तो वस्तु के अंदर तापमान का अंतर नगण्य होता है और आप पूरी वस्तु को एक ही समान नोड (single lumped node) मान सकते हैं।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए किसी धातु के पुर्ज़े में \(\text{h} = 10\ \text{W/m}^2\cdot\text{K}\), \(\text{L}_c = 0.05\ \text{m}\) और \(\text{k} = 200\ \text{W/m}\cdot\text{K}\) है, तो
$$\text{Bi} = \frac{10 \times 0.05}{200} = \frac{0.5}{200} = 0.0025$$आता है। चूँकि \(0.0025 < 0.1\) है, इसलिए lumped capacitance विधि वैध है।
विशेषता लंबाई (Lc) ज्यामिति द्वारा
लम्प्ड-कैपेसिटेंस विश्लेषण के लिए विशेषता लंबाई को ठोस के आयतन और संवहन के लिए उजागर सतह क्षेत्र के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, \(L_c = V/A_s\)। इस सुसंगत परिभाषा का उपयोग करने से बायोट-संख्या मानदंड (\(\text{Bi}<0.1\)) सभी आकृतियों में सीधे तुलनीय रहता है। कुछ पाठ्यपुस्तकें एक-पद श्रेणी और हेइसलर-चार्ट समाधानों के लिए इसके बजाय पूर्ण त्रिज्या या आधी-मोटाई का उपयोग करती हैं; दोनों परंपराएं नीचे दिखाई गई हैं।
| ज्यामिति | परिभाषित आयाम | \(L_c = V/A_s\) | चालन-लंबाई परंपरा |
|---|---|---|---|
| समतल दीवार, दोनों चेहरे ठंडा किए गए | मोटाई \(2L\) | \(L\) | आधी-मोटाई \(L\) |
| समतल दीवार / स्लैब, एक चेहरा इंसुलेट किया गया | मोटाई \(L\) | \(L\) | मोटाई \(L\) |
| लंबा सिलेंडर (त्रिज्या \(r\)) | त्रिज्या \(r\) | \(r/2\) | त्रिज्या \(r\) |
| गोला (त्रिज्या \(r\)) | त्रिज्या \(r\) | \(r/3\) | त्रिज्या \(r\) |
| घन (भुजा \(a\)) | भुजा \(a\) | \(a/6\) | आधी-भुजा \(a/2\) |
कार्यित जांच: \(r=0.02\text{ m}\) त्रिज्या वाले गोले के लिए, \(L_c = r/3 = 0.02/3 \approx 0.00667\text{ m}\)। समान त्रिज्या के लंबे सिलेंडर के लिए, \(L_c = r/2 = 0.01\text{ m}\)।
अपनी बायोट संख्या की व्याख्या
बायोट संख्या आंतरिक चालन प्रतिरोध \((L_c/k)\) की तुलना बाहरी संवहन प्रतिरोध \((1/h)\) से करती है। यह बताती है कि क्या कोई ठोस लगभग समान आंतरिक तापमान के साथ गर्म या ठंडा होता है या महत्वपूर्ण आंतरिक प्रवणता के साथ।
| बायोट श्रेणी | भौतिक अर्थ | अनुशंसित विश्लेषण |
|---|---|---|
| \(\text{Bi}<0.1\) | आंतरिक चालन प्रतिरोध नगण्य है; शरीर का तापमान किसी भी समय अनिवार्य रूप से समान है। | लम्प्ड-कैपेसिटेंस मॉडल मान्य है; \(\tau = \rho V c_p / (h A_s)\) के साथ घातीय क्षय \(\theta/\theta_0 = e^{-t/\tau}\) का उपयोग करें। |
| \(0.1<\text{Bi}<\sim 10\) | परिमित आंतरिक तापमान प्रवणता मौजूद हैं; कोई भी प्रतिरोध प्रभुत्व नहीं रखता। | उपयुक्त ज्यामिति के लिए एक-पद सन्निकटन या हेइसलर/क्षणिक-चालन चार्ट समाधान का उपयोग करें। |
| \(\text{Bi}>\sim 10\) | संवहन प्रतिरोध नगण्य है; सतह का तापमान अनिवार्य रूप से द्रव तापमान पर निर्धारित है। | चालन-नियंत्रित; सतह को समतापीय सीमा स्थिति (\(T_s \approx T_\infty\)) मानें। |
व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाली इंजीनियरिंग सीमा \(\text{Bi}=0.1\)) लम्प्ड-कैपेसिटेंस त्रुटि को तापमान में लगभग 5% के नीचे रखती है। इस मान के नीचे सरल एक-नोड मॉडल सुविधाजनक और सटीक दोनों है।
मुख्य शर्तें और चर
- संवहनीय ताप स्थानांतरण गुणांक, \(h\) (W/m²·K)
- ठोस सतह और आसपास के द्रव के बीच प्रति इकाई क्षेत्र प्रति डिग्री तापमान अंतर ताप विनिमय की दर। मजबूर संवहन और तरल पदार्थों के लिए अभी भी हवा की तुलना में अधिक।
- विशेषता लंबाई, \(L_c\) (m)
- ठोस का ज्यामितीय पैमाना, लम्प्ड विश्लेषण के लिए \(L_c = V/A_s\) के रूप में परिभाषित। यह ताप को आंतरिक रूप से चालन करने के लिए आवश्यक विशिष्ट दूरी का प्रतिनिधित्व करता है।
- ठोस की तापीय चालकता, \(k\) (W/m·K)
- ठोस की ताप को चालन करने की आंतरिक क्षमता। ध्यान दें कि बायोट संख्या में \(k\) ठोस शरीर की है, आसपास के द्रव की नहीं।
- बायोट संख्या, \(\text{Bi}\) (विमाहीन)
- \(\text{Bi}=hL_c/k\); आंतरिक चालन प्रतिरोध से सतह संवहन प्रतिरोध का अनुपात।
- लम्प्ड कैपेसिटेंस
- पूरे शरीर को एक एकल समान तापमान नोड के रूप में मानने वाला एक आदर्शीकरण, जब \(\text{Bi}<0.1\) होता है तो मान्य है।
बायोट बनाम नुसेल्ट: दोनों \(hL/k\) रूप साझा करते हैं लेकिन विभिन्न \(k\) का उपयोग करते हैं। बायोट संख्या ठोस की चालकता का उपयोग करती है और आंतरिक बनाम सतह प्रतिरोध को मापती है। नुसेल्ट संख्या द्रव की चालकता का उपयोग करती है और द्रव में संवहनीय बनाम प्रवाहकीय ताप स्थानांतरण को मापती है, इसलिए समान \(h\) और \(L\) बहुत भिन्न मान देते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(\text{Bi} < 0.1\) ही अंगूठे का नियम (rule of thumb) क्यों है? इस सीमा से नीचे ठोस के अंदर तापमान में बदलाव लगभग 5% से कम रहता है, जो अधिकांश इंजीनियरिंग कार्यों के लिए अनदेखा करने योग्य है।
बायो और नुसेल्ट संख्या में क्या अंतर है? दोनों में \(\text{h} \cdot \text{L}/\text{k}\) का उपयोग होता है, लेकिन बायो संख्या में ठोस की चालकता ली जाती है, जबकि नुसेल्ट संख्या में द्रव (fluid) की चालकता ली जाती है।
अगर k शून्य हो तो क्या होगा? किसी भी वास्तविक पदार्थ की चालकता शून्य नहीं हो सकती; कैलकुलेटर शून्य से भाग देने से बचाव करता है और ऐसी स्थिति में 0 लौटाता है।
