什麼是畢歐數？
畢歐數（Biot number，Bi）是暫態熱傳導分析中常用的無因次參數。它比較的是物體「內部熱傳導阻力」與「表面對流阻力」兩者之間的相對大小。當畢歐數很小時，代表物體內部傳導熱量的速度遠快於表面散熱的速度，因此在加熱或冷卻過程中，整個物體的溫度幾乎維持均勻一致。
如何使用本計算器
只要輸入三個數值即可：對流熱傳係數 h（W/m²·K）、特徵長度 Lc（m），以及固體的熱傳導係數 k（W/m·K）。計算器會自動算出 $$\text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{L}_c}{\text{k}}$$ 並告訴你常用的「集總熱容法（lumped-capacitance）」近似是否適用。
公式說明
核心公式為 $$\text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{L}_c}{\text{k}}$$ 特徵長度 \(L_c\) 通常以體積除以表面積（\(V/A\)）來計算：單側冷卻、厚度為 \(L\) 的平板，其 \(L_c\) 等於 \(L\)；半徑為 \(r\) 的球體為 \(r/3\)；長圓柱則為 \(r/2\)。當 \(\text{Bi} < 0.1\) 時，物體內部的溫度梯度可忽略不計，便能將整個物體視為單一的集總節點來處理。
範例試算
假設一個金屬零件，\(h = 10 \text{ W/m}^2\cdot\text{K}\)、\(L_c = 0.05 \text{ m}\)、\(k = 200 \text{ W/m}\cdot\text{K}\)，則 $$\text{Bi} = \frac{10 \times 0.05}{200} = \frac{0.5}{200} = 0.0025$$ 由於 \(0.0025 < 0.1\)，因此集總熱容法成立，可放心使用。
特徵長度 (Lc) 依據幾何形狀
對於集中容量分析，特徵長度定義為固體體積與其暴露於對流表面積的比值，\(L_c = V/A_s\)。使用這個一致的定義能保持Biot數準則 (\(\text{Bi}<0.1\)) 在不同形狀間直接可比。有些教科書改為在單項級數和Heisler圖表解中使用完整半徑或半厚度；下面顯示了兩種約定。
| 幾何形狀 | 定義尺寸 | \(L_c = V/A_s\) | 導熱長度約定 |
|---|---|---|---|
| 平板，兩面冷卻 | 厚度 \(2L\) | \(L\) | 半厚度 \(L\) |
| 平板／板片，一面絕緣 | 厚度 \(L\) | \(L\) | 厚度 \(L\) |
| 長圓柱（半徑 \(r\)） | 半徑 \(r\) | \(r/2\) | 半徑 \(r\) |
| 球體（半徑 \(r\)） | 半徑 \(r\) | \(r/3\) | 半徑 \(r\) |
| 立方體（邊長 \(a\)） | 邊長 \(a\) | \(a/6\) | 半邊長 \(a/2\) |
計算驗證：對於半徑 \(r=0.02\text{ m}\) 的球體，\(L_c = r/3 = 0.02/3 \approx 0.00667\text{ m}\)。對於相同半徑的長圓柱，\(L_c = r/2 = 0.01\text{ m}\)。
解釋你的Biot數
Biot數比較了內部導熱阻抗 \((L_c/k)\) 與外部對流阻抗 \((1/h)\)。它告訴你固體是以幾乎均勻的內部溫度加熱或冷卻，還是存在顯著的內部溫度梯度。
| Biot範圍 | 物理意義 | 推薦分析方法 |
|---|---|---|
| \(\text{Bi}<0.1\) | 內部導熱阻抗可忽略不計；在任何時刻，物體的溫度本質上是均勻的。 | 集中容量模型有效；使用指數衰減 \(\theta/\theta_0 = e^{-t/\tau}\)，其中 \(\tau = \rho V c_p / (h A_s)\)。 |
| \(0.1<\text{Bi}<\sim 10\) | 存在有限的內部溫度梯度；兩種阻抗都不佔絕對優勢。 | 使用單項近似或Heisler／暫態導熱圖表解，適用於相應的幾何形狀。 |
| \(\text{Bi}>\sim 10\) | 對流阻抗可忽略不計；表面溫度本質上被固定在流體溫度。 | 導熱控制；將表面視為等溫邊界條件 (\(T_s \approx T_\infty\))。 |
廣泛使用的工程閾值 \(\text{Bi}=0.1\) 將集中容量誤差保持在溫度的約5%以下。在此值以下，簡單的單節點模型既方便又準確。
關鍵術語與變數
- 對流傳熱係數，\(h\) (W/m²·K)
- 固體表面與周圍流體之間單位面積單位溫度差的熱交換速率。強制對流及液體比靜止空氣的數值更大。
- 特徵長度，\(L_c\) (m)
- 固體的幾何尺度，對於集中分析定義為 \(L_c = V/A_s\)。它代表熱必須進行內部導傳的典型距離。
- 固體的熱導率，\(k\) (W/m·K)
- 固體導熱的內在能力。注意Biot數中的 \(k\) 是固體的熱導率，而非周圍流體的。
- Biot數，\(\text{Bi}\) (無因次)
- \(\text{Bi}=hL_c/k\)；內部導熱阻抗與表面對流阻抗的比值。
- 集中容量
- 一種理想化處理，將整個物體視為單一均勻溫度節點，當 \(\text{Bi}<0.1\) 時有效。
Biot與Nusselt：兩者具有 \(hL/k\) 的形式，但使用不同的 \(k\)。Biot數使用固體的熱導率，衡量內部與表面阻抗。Nusselt數使用流體的熱導率，衡量流體中的對流與導熱，所以相同的 \(h\) 與 \(L\) 會產生非常不同的數值。
常見問題 FAQ
為什麼以 \(\text{Bi} < 0.1\) 作為判斷依據？低於這個門檻時，固體內部的溫度變化大約在 5% 以內，對於多數工程應用而言已小到可以忽略。
畢歐數與紐塞數（Nusselt number）有何不同？兩者的形式都是 \(\text{h} \cdot \text{L}/\text{k}\)，但畢歐數採用的是「固體」的熱傳導係數，而紐塞數採用的則是「流體」的熱傳導係數。
如果 k 等於零會怎樣？真實材料的熱傳導係數不可能為零；本計算器已內建防呆機制，以避免除以零的情形，遇此情況會回傳 0。
