Qu'est-ce que le nombre de Biot ?
Le nombre de Biot (Bi) est une grandeur sans dimension employée dans l'étude de la conduction thermique en régime transitoire. Il compare la résistance au transfert de chaleur à l'intérieur d'un corps (conduction) à la résistance à sa surface (convection). Un nombre de Biot faible signifie que le corps conduit la chaleur en interne bien plus vite qu'il ne la cède à son environnement : sa température reste donc quasi uniforme pendant le chauffage ou le refroidissement.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez trois valeurs : le coefficient de transfert thermique par convection h (W/m²·K), la longueur caractéristique Lc (m) et la conductivité thermique k (W/m·K) du solide. Le calculateur renvoie \(\text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{L}_c}{\text{k}}\) et vous indique si la célèbre approximation des capacités concentrées (lumped capacitance) est applicable.
La formule expliquée
L'équation de référence est $$\text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{L}_c}{\text{k}}$$ La longueur caractéristique Lc correspond généralement au rapport du volume sur la surface (V/A) : pour une plaque d'épaisseur L refroidie sur une seule face, elle vaut L ; pour une sphère de rayon r, elle vaut \(r/3\) ; pour un cylindre long, \(r/2\). Lorsque \(\text{Bi} < 0{,}1\), les gradients de température internes sont négligeables et l'on peut traiter l'objet comme un nœud unique à température homogène.
Exemple résolu
Une pièce métallique avec h = 10 W/m²·K, Lc = 0,05 m et k = 200 W/m·K donne $$\text{Bi} = \frac{10 \times 0{,}05}{200} = \frac{0{,}5}{200} = 0{,}0025$$ Comme \(0{,}0025 < 0{,}1\), la méthode des capacités concentrées est valable.
Longueur caractéristique (Lc) par géométrie
Pour l'analyse en capacitance concentrée, la longueur caractéristique est définie comme le rapport du volume du solide à sa surface exposée à la convection, \(L_c = V/A_s\). L'utilisation de cette définition cohérente maintient le critère de nombre de Biot (\(\text{Bi}<0.1\)) directement comparable entre les formes. Certains manuels utilisent plutôt le rayon complet ou la demi-épaisseur pour les solutions à une seule série et les graphiques de Heisler ; les deux conventions sont présentées ci-dessous.
| Géométrie | Dimension définissante | \(L_c = V/A_s\) | Convention de longueur de conduction |
|---|---|---|---|
| Paroi plane, les deux faces refroidies | Épaisseur \(2L\) | \(L\) | Demi-épaisseur \(L\) |
| Paroi plane / dalle, une face isolée | Épaisseur \(L\) | \(L\) | Épaisseur \(L\) |
| Cylindre long (rayon \(r\)) | Rayon \(r\) | \(r/2\) | Rayon \(r\) |
| Sphère (rayon \(r\)) | Rayon \(r\) | \(r/3\) | Rayon \(r\) |
| Cube (côté \(a\)) | Côté \(a\) | \(a/6\) | Demi-côté \(a/2\) |
Vérification calculée : pour une sphère de rayon \(r=0.02\text{ m}\), \(L_c = r/3 = 0.02/3 \approx 0.00667\text{ m}\). Pour un cylindre long du même rayon, \(L_c = r/2 = 0.01\text{ m}\).
Interprétation de votre nombre de Biot
Le nombre de Biot compare la résistance interne de conduction \((L_c/k)\) à la résistance externe de convection \((1/h)\). Il vous indique si un solide se réchauffe ou se refroidit avec une température interne essentiellement uniforme ou avec des gradients internes significatifs.
| Plage de Biot | Signification physique | Analyse recommandée |
|---|---|---|
| \(\text{Bi}<0.1\) | La résistance interne de conduction est négligeable ; la température du corps est essentiellement uniforme à tout instant. | Modèle de capacitance concentrée valide ; utilisez la décroissance exponentielle \(\theta/\theta_0 = e^{-t/\tau}\) avec \(\tau = \rho V c_p / (h A_s)\). |
| \(0.1<\text{Bi}<\sim 10\) | Des gradients de température internes finis existent ; aucune résistance ne domine. | Utilisez l'approximation à un terme ou les solutions des graphiques de Heisler/conduction en régime transitoire pour la géométrie appropriée. |
| \(\text{Bi}>\sim 10\) | La résistance de convection est négligeable ; la température de surface est essentiellement fixée à la température du fluide. | Contrôlé par la conduction ; traitez la surface comme une condition aux limites isotherme (\(T_s \approx T_\infty\)). |
Le seuil d'ingénierie largement utilisé de \(\text{Bi}=0.1\) maintient l'erreur de capacitance concentrée en température en dessous d'environ 5 %. En dessous de cette valeur, le modèle simple à nœud unique est à la fois pratique et précis.
Termes clés et variables
- Coefficient de transfert de chaleur par convection, \(h\) (W/m²·K)
- Taux d'échange de chaleur entre la surface du solide et le fluide environnant par unité de surface par degré de différence de température. Plus grand pour la convection forcée et pour les liquides que pour l'air immobile.
- Longueur caractéristique, \(L_c\) (m)
- Échelle géométrique du solide, définie comme \(L_c = V/A_s\) pour l'analyse en capacitance concentrée. Elle représente la distance typique que la chaleur doit conduire en interne.
- Conductivité thermique du solide, \(k\) (W/m·K)
- La capacité intrinsèque du solide à conduire la chaleur. Notez que \(k\) dans le nombre de Biot est celle du corps solide, et non du fluide environnant.
- Nombre de Biot, \(\text{Bi}\) (sans dimensions)
- \(\text{Bi}=hL_c/k\) ; le rapport de la résistance interne de conduction à la résistance de convection de surface.
- Capacitance concentrée
- Une idéalisation traitant le corps entier comme un seul nœud de température uniforme, valide lorsque \(\text{Bi}<0.1\).
Biot vs. Nusselt : Les deux partagent la forme \(hL/k\) mais utilisent \(k\) différent. Le nombre de Biot utilise la conductivité du solide et jauge la résistance interne par rapport à la surface. Le nombre de Nusselt utilise la conductivité du fluide et jauge le transfert de chaleur par convection par rapport à la conduction dans le fluide, de sorte que le même \(h\) et \(L\) donnent des valeurs très différentes.
FAQ
Pourquoi retient-on le seuil \(\text{Bi} < 0{,}1\) ? En dessous de cette valeur, l'écart de température à l'intérieur du solide reste inférieur à environ 5 %, suffisamment faible pour être ignoré dans la plupart des applications d'ingénierie.
Quelle différence entre le nombre de Biot et le nombre de Nusselt ? Les deux font intervenir \(\text{h} \cdot \text{L}/\text{k}\), mais le nombre de Biot utilise la conductivité du solide, tandis que le nombre de Nusselt utilise la conductivité du fluide.
Que se passe-t-il si k vaut zéro ? La conductivité ne peut pas être nulle pour un matériau réel ; le calculateur se prémunit contre la division par zéro et renvoie 0 dans ce cas.
