Что такое число Био?
Число Био (Bi) — это безразмерная величина, которую применяют при анализе нестационарной теплопроводности. Оно сравнивает сопротивление переносу тепла внутри тела (теплопроводность) с сопротивлением на его поверхности (конвекция). Малое число Био означает, что тело проводит тепло внутри себя гораздо быстрее, чем отдаёт его в окружающую среду, поэтому при нагреве или охлаждении температура внутри остаётся практически одинаковой.
Как пользоваться калькулятором
Введите три значения: коэффициент теплоотдачи h (Вт/м²·К), характерный размер Lc (м) и теплопроводность k (Вт/м·К) твёрдого тела. Калькулятор выдаёт результат \(\text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{L}_c}{\text{k}}\) и подсказывает, можно ли использовать популярный метод сосредоточенной теплоёмкости.
Разбор формулы
Основное уравнение выглядит так: $$\text{Bi} = \frac{\text{h} \cdot \text{L}_c}{\text{k}}$$ Характерный размер Lc обычно принимают равным отношению объёма к площади поверхности (V/A): для пластины толщиной L, охлаждаемой с одной стороны, это L; для шара радиусом r — r/3; для длинного цилиндра — r/2. Когда Bi < 0,1, внутренними перепадами температуры можно пренебречь, и объект допустимо рассматривать как единый сосредоточенный узел.
Пример расчёта
Для металлической детали с h = 10 Вт/м²·К, Lc = 0,05 м и k = 200 Вт/м·К получаем $$\text{Bi} = \frac{10 \times 0{,}05}{200} = \frac{0{,}5}{200} = 0{,}0025.$$ Поскольку 0,0025 < 0,1, метод сосредоточенной теплоёмкости применим.
Частые вопросы
Почему за ориентир берут Bi < 0,1? Ниже этого порога разброс температуры внутри тела составляет менее примерно 5% — этого достаточно мало, чтобы пренебречь им в большинстве инженерных задач.
Чем число Био отличается от числа Нуссельта? Оба выражаются как \(\frac{\text{h} \cdot \text{L}}{\text{k}}\), но в числе Био используется теплопроводность твёрдого тела, а в числе Нуссельта — теплопроводность жидкости (или газа).
Что будет, если k равно нулю? У реального материала теплопроводность не может быть нулевой; калькулятор защищён от деления на ноль и в таком случае возвращает 0.
Характеристическая длина (Lc) в зависимости от геометрии
Для анализа методом сосредоточенной ёмкости характеристическая длина определяется как отношение объёма твёрдого тела к площади его поверхности, подвергающейся конвекции: \(L_c = V/A_s\). Использование этого единообразного определения делает критерий числа Био (\(\text{Bi}<0.1\)) непосредственно сравнимым для различных форм. В некоторых учебниках вместо этого используются полный радиус или половина толщины для однопараметрических рядов и решений на основе диаграмм Хейслера; ниже показаны оба подхода.
| Геометрия | Определяющий размер | \(L_c = V/A_s\) | Соглашение о длине теплопроводности |
|---|---|---|---|
| Плоская стенка, обе поверхности охлаждаются | Толщина \(2L\) | \(L\) | Половина толщины \(L\) |
| Плоская стенка / слой, одна поверхность изолирована | Толщина \(L\) | \(L\) | Толщина \(L\) |
| Длинный цилиндр (радиус \(r\)) | Радиус \(r\) | \(r/2\) | Радиус \(r\) |
| Сфера (радиус \(r\)) | Радиус \(r\) | \(r/3\) | Радиус \(r\) |
| Куб (сторона \(a\)) | Сторона \(a\) | \(a/6\) | Половина стороны \(a/2\) |
Проверочный расчёт: для сферы радиусом \(r=0.02\text{ м}\), \(L_c = r/3 = 0.02/3 \approx 0.00667\text{ м}\). Для длинного цилиндра того же радиуса, \(L_c = r/2 = 0.01\text{ м}\).
Интерпретация вашего числа Био
Число Био сравнивает внутреннее сопротивление теплопроводности \((L_c/k)\) с внешним сопротивлением конвекции \((1/h)\). Оно показывает, происходит ли нагрев или охлаждение твёрдого тела при практически равномерной внутренней температуре или с существенными внутренними градиентами температуры.
| Диапазон Би | Физический смысл | Рекомендуемый метод анализа |
|---|---|---|
| \(\text{Bi}<0.1\) | Сопротивление внутренней теплопроводности пренебрежимо мало; температура тела в любой момент времени практически равномерна. | Модель сосредоточенной ёмкости справедлива; используйте экспоненциальное затухание \(\theta/\theta_0 = e^{-t/\tau}\) с \(\tau = \rho V c_p / (h A_s)\). |
| \(0.1<\text{Bi}<\sim 10\) | Существуют конечные внутренние градиенты температуры; ни одно из сопротивлений не доминирует. | Используйте однопараметрическое приближение или решения на основе диаграмм Хейслера / переходной теплопроводности для соответствующей геометрии. |
| \(\text{Bi}>\sim 10\) | Сопротивление конвекции пренебрежимо мало; температура поверхности практически зафиксирована при температуре жидкости. | Теплопроводность управляет процессом; рассматривайте поверхность как граничное условие с постоянной температурой (\(T_s \approx T_\infty\)). |
Широко используемый инженерный пороговый уровень \(\text{Bi}=0.1\) обеспечивает погрешность модели сосредоточенной ёмкости по температуре примерно 5% и ниже. Ниже этого значения простая одноузловая модель является одновременно удобной и точной.
Ключевые термины и переменные
- Коэффициент конвективной теплопередачи, \(h\) (Вт/м²·К)
- Скорость теплообмена между поверхностью твёрдого тела и окружающей жидкостью на единицу площади и на один градус разности температур. Больше при вынужденной конвекции и для жидкостей, чем для неподвижного воздуха.
- Характеристическая длина, \(L_c\) (м)
- Геометрический масштаб твёрдого тела, определяемый как \(L_c = V/A_s\) для анализа методом сосредоточенной ёмкости. Он представляет типичное расстояние, на которое тепло должно проводиться внутри тела.
- Коэффициент теплопроводности твёрдого тела, \(k\) (Вт/м·К)
- Собственная способность твёрдого тела проводить тепло. Обратите внимание, что \(k\) в числе Био — это коэффициент твёрдого тела, а не окружающей жидкости.
- Число Био, \(\text{Bi}\) (безразмерное)
- \(\text{Bi}=hL_c/k\); отношение сопротивления внутренней теплопроводности к сопротивлению поверхностной конвекции.
- Сосредоточенная ёмкость
- Идеализация, рассматривающая всё тело как единственный узел с равномерной температурой, справедливая при \(\text{Bi}<0.1\).
Число Био против числа Нуссельта: Оба имеют форму \(hL/k\), но используют разные \(k\). Число Био использует теплопроводность твёрдого тела и оценивает внутреннее сопротивление и сопротивление поверхности. Число Нуссельта использует теплопроводность жидкости и оценивает конвективный и кондуктивный теплообмен в жидкости, поэтому одни и те же \(h\) и \(L\) дают очень разные значения.
