Что такое калькулятор чисел Фибоначчи?
Этот инструмент возвращает n-е число Фибоначчи, которое обозначается \(F_n\), для любого натурального порядкового номера \(n\). Последовательность Фибоначчи — одна из самых известных числовых последовательностей в математике: каждый её член равен сумме двух предыдущих. С начальными значениями \(F_1 = 1\) и \(F_2 = 1\) последовательность начинается так: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 — и продолжается бесконечно. Числа Фибоначчи встречаются в природе, искусстве, информатике, а также тесно связаны с золотым сечением.
Как пользоваться
Введите порядковый номер \(n\) (1, 2, 3, ...) в поле ввода и нажмите «Рассчитать». Калькулятор вернёт точное значение \(F_n\). Поскольку числа Фибоначчи растут примерно как \(\phi^n / \sqrt{5}\), они очень быстро становятся огромными, поэтому инструмент использует точную арифметику больших целых чисел вместо чисел с плавающей запятой. Это позволяет получать абсолютно точный результат даже для больших значений, без ошибок округления.
Разбор формулы
Определяющая рекуррента — $$F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \qquad F_1 = F_2 = 1$$ Существует и явная формула — формула Бине: $$F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$$ где \(\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) — золотое сечение, а \(\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\). При данной нумерации с единицы оба способа дают одинаковые значения, однако формула Бине теряет точность при больших \(n\) из-за округления в числах с плавающей запятой, поэтому мы вычисляем ответ итеративно — ради абсолютной точности.
Разбор примера
Для \(n = 12\) последовательно выстраиваем ряд: \(F_1=1\), \(F_2=1\), \(F_3=2\), \(F_4=3\), \(F_5=5\), \(F_6=8\), \(F_7=13\), \(F_8=21\), \(F_9=34\), \(F_{10}=55\), \(F_{11}=89\), \(F_{12}=144\). Итак, \(F_{12} = 144\). Проверка по формуле Бине: \(\phi^{12} \approx 321{,}9969\), \(\psi^{12} \approx 0{,}0031\), и $$\frac{321{,}9969 - 0{,}0031}{\sqrt{5}} \approx 144{,}0$$ — результат подтверждается.
Частые вопросы
Почему \(F_1 = 1\) и \(F_2 = 1\), а не \(F_0 = 0\)? Этот калькулятор использует распространённую нумерацию с единицы, при которой отсчёт начинается с индекса 1. В альтернативной нумерации с нуля \(F_0 = 0\) и \(F_1 = 1\) — значения просто сдвинуты на один индекс.
Справится ли он с большими \(n\)? Да. Используется точная арифметика больших целых чисел, поэтому даже для больших индексов вы получите полное точное целое число, а не приближение.
Какое наименьшее допустимое \(n\)? \(n\) должно быть натуральным числом, поэтому минимум — это \(n = 1\), что даёт \(F_1 = 1\).
