Калькулятор квадратных уравнений

Введите расчет

a (coefficient of x²)

b (коэффициент при x)

c (свободный член)

Значащие цифры 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Discriminant

   

   D > 0: two distinct real roots; D = 0: one repeated real root; D < 0: two complex conjugate roots.

Результатов

Roots of ax² + bx + c = 0

x₁ = 1, x₂ = -2,5

Two distinct real roots

Discriminant (D = b² − 4ac)	49
Root x₁ (real part)	1
Root x₁ (imaginary part)	0
Root x₂ (real part)	-2,5
Root x₂ (imaginary part)	0

Что вычисляет этот калькулятор

Этот инструмент решает любое квадратное уравнение, записанное в стандартном виде \(ax^2 + bx + c = 0\), где a, b и c — действительные коэффициенты, а a ≠ 0. Калькулятор выдаёт оба корня (действительные или комплексные), значение дискриминанта и понятное описание того, какими именно получились корни.

Как пользоваться

Введите три коэффициента. Коэффициент a стоит при x², b — при x, а c — это свободный член. Если a равно нулю, уравнение перестаёт быть квадратным, поэтому калькулятор попросит указать ненулевое значение. В выпадающем списке выберите, сколько значащих цифр показывать в ответе: эта настройка влияет только на округление результата, но не на сами вычисления.

Разбор формулы

Корни находятся по формуле корней квадратного уравнения

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

где дискриминант равен

$$D = b^2 - 4ac$$

Если \(D > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня. Если \(D = 0\), слагаемое с \(\pm\) обнуляется, и остаётся один (двукратный) действительный корень \(x = -b / (2a)\). Если \(D < 0\), под корнем оказывается отрицательное число, и получается пара комплексно-сопряжённых корней с действительной частью \(-b / (2a)\) и мнимой частью \(\sqrt{-D} / (2a)\).

Знак дискриминанта определяет, пересекает ли парабола ось X дважды, один раз или вовсе нет.

Формула корней квадратного уравнения с дискриминантом b² − 4ac под корнем.

Пример с решением

Возьмём \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = -5\):

$$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$$

Так как \(D > 0\), \(\sqrt{49} = 7\), поэтому

$$x_1 = \frac{-3 + 7}{4} = 1$$$$x_2 = \frac{-3 - 7}{4} = -2{,}5$$

Итак, корни уравнения — 1 и −2,5.

Частые вопросы

Что делать, если дискриминант отрицательный? В этом случае получаются два комплексно-сопряжённых корня вида \(p \pm qi\); калькулятор показывает действительную часть p и мнимую часть q по отдельности.

Почему коэффициент a не может быть нулём? Если \(a = 0\), слагаемое с x² исчезает и уравнение превращается в линейное (\(bx + c = 0\)). В этом случае деление на \(2a\) в формуле корней теряет смысл.

Влияет ли число значащих цифр на ответ? Нет. Эта настройка задаёт лишь количество отображаемых цифр; все расчёты выполняются с полной точностью (двойной точности), а округление применяется только при выводе.