Что такое квадратное уравнение?
Квадратное уравнение — это многочлен второй степени вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где a, b и c — числовые коэффициенты, причём \(a \neq 0\). Его график представляет собой параболу, а решения уравнения, которые называют корнями, — это значения x, в которых парабола пересекает ось абсцисс. Наш калькулятор мгновенно находит эти корни, будь они действительными или комплексными.
Как пользоваться калькулятором
Введите три коэффициента: a (при x²), b (при x) и c (свободный член). Калькулятор вычислит дискриминант и выдаст корни уравнения. Если a = 0, уравнение перестаёт быть квадратным, поэтому потребуется указать ненулевое значение.
Разбор формулы
Корни находят по формуле $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Выражение под знаком корня, $$\Delta = b^2 - 4ac$$ называется дискриминантом. Если \(\Delta > 0\), уравнение имеет два различных действительных корня; если \(\Delta = 0\) — один (двойной) действительный корень; если \(\Delta < 0\), корни комплексно-сопряжённые и записываются в виде \(\left(-\frac{b}{2a}\right) \pm \frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i\).
Пример решения
Решим уравнение \(x^2 - 3x + 2 = 0\). Здесь \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\). Дискриминант равен $$(-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$$ Тогда $$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ откуда \(x = 2\) и \(x = 1\).
Частые вопросы
Что делать, если дискриминант отрицательный? Тогда действительных решений нет — уравнение имеет два комплексных корня, которые калькулятор показывает в виде \(a \pm bi\).
Может ли a быть равным нулю? Нет. При \(a = 0\) уравнение становится линейным, а не квадратным, и формула дискриминанта к нему неприменима.
Что означает двойной корень? При \(\Delta = 0\) парабола лишь касается оси абсцисс в одной точке, поэтому оба корня совпадают.
