Калькулятор разложения квадратного уравнения на множители

Введите расчет

Коэффициент a

Коэффициент b

Коэффициент c

Для трёхчлена ax² + bx + c. Коэффициент a не должен быть равен нулю.

Результатов

Разложение на множители

1(x − 3)(x − 2)

Действительные корни

Дискриминант (b² − 4ac)	1
Корень r₁	3
Корень r₂	2
Старший коэффициент a	1

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент переписывает любой квадратный трёхчлен из стандартного вида \(ax^2 + bx + c\) в полное разложение на множители — \(a(x - r_1)(x - r_2)\). Сначала он находит корни \(r_1\) и \(r_2\) по известной формуле через дискриминант, а затем представляет трёхчлен как произведение линейных множителей, умноженное на старший коэффициент \(a\). Способ работает при любых действительных коэффициентах, в том числе когда корни иррациональные, дробные или комплексные.

Как пользоваться

Введите три коэффициента \(a\), \(b\) и \(c\) из вашего трёхчлена \(ax^2 + bx + c\). Коэффициент \(a\) не должен быть равен нулю — иначе выражение становится линейным, а не квадратным. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть разложение на множители вместе со значением дискриминанта и каждым корнем.

Разбор формулы

Корни вычисляются по формуле $$r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$ Выражение под корнем, \(b^2 - 4ac\), называется дискриминантом. Если он положителен — у уравнения два различных действительных корня; если равен нулю — один кратный действительный корень; если отрицателен — корни образуют пару комплексно-сопряжённых чисел. Как только корни найдены, исходный трёхчлен всегда раскладывается точно в виде \(a(x - r_1)(x - r_2)\).

Корни \(r_1\) и \(r_2\) — точки пересечения параболы с осью x, а \(a\) задаёт вертикальное растяжение и направление.

Пример с решением

Возьмём \(x^2 - 5x + 6\) (\(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 6\)). Дискриминант равен $$(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.$$ Корни: \(\frac{5 \pm 1}{2}\), то есть \(r_1 = 3\) и \(r_2 = 2\). Значит, разложение на множители — \(1(x - 3)(x - 2)\), или просто \((x - 3)(x - 2)\).

Дискриминант \(b^2 - 4ac\) определяет, будет ли два действительных корня, один кратный корень или комплексные корни.

Частые вопросы

Что если корни не целые? Калькулятор всё равно справится — он выдаст корни в виде десятичных дробей, и эти дроби войдут в разложение.

Что происходит с комплексными корнями? Когда дискриминант отрицателен, результат показывается через действительную и мнимую части в виде комплексно-сопряжённой пары \(a \pm bi\).

Почему старший коэффициент a выносится вперёд? Вынесение \(a\) гарантирует, что разложение при обратном раскрытии скобок даёт в точности ваш исходный трёхчлен, включая «растяжение», возникающее при \(a \neq 1\).