Калькулятор квадратных уравнений

Введите расчет

a =

b =

c =

Решает a·x² + b·x + c = 0. Коэффициент a не должен быть равен 0.

Результатов

Характер корней

two distinct real roots

x₁	2.00000
x₂	1.00000
Discriminant (b² − 4ac)	1

Что умеет этот калькулятор

Инструмент решает любое квадратное уравнение в стандартном виде a·x² + b·x + c = 0 по классической формуле корней. Введите три коэффициента — и калькулятор покажет оба корня, значение дискриминанта и понятное пояснение, действительные эти корни или комплексные. Он корректно работает с отрицательными коэффициентами и выводит комплексно-сопряжённые корни в привычной форме p ± q·i.

Действительные корни квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью x.

Как пользоваться

Введите коэффициент при x² в поле a, коэффициент при x — в поле b, а свободный член — в поле c. Коэффициент a не должен быть равен 0: иначе уравнение становится линейным, а не квадратным, и калькулятор автоматически решает уравнение b·x + c = 0. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть x₁, x₂ и дискриминант.

Разбор формулы

Формула корней квадратного уравнения выглядит так: $$x = \frac{-\text{b} \pm \sqrt{\text{b}^{2} - 4\,\text{a}\,\text{c}}}{2\,\text{a}}$$ Выражение под корнем, \(D = \text{b}^{2} - 4\text{a}\text{c}\), называется дискриминантом. Его знак полностью определяет характер корней: при \(D > 0\) уравнение имеет два различных действительных корня; при \(D = 0\) — один действительный корень, повторяющийся дважды; при \(D < 0\) — два комплексно-сопряжённых корня с действительной частью \(-\text{b}/(2\text{a})\) и мнимой частью \(\sqrt{-D}/(2\text{a})\).

Реклама

Дискриминант определяет характер корней: два действительных, один кратный или комплексные.

Пример решения

Решим \(x^{2} - 3x + 2 = 0\), то есть \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\). Дискриминант равен $$D = (-3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ — он положительный, значит, есть два действительных корня. \(\sqrt{1} = 1\), отсюда \(x_{1} = (3 + 1)/2 = 2\) и \(x_{2} = (3 - 1)/2 = 1\). Уравнение раскладывается на множители как \((x - 2)(x - 1) = 0\), что подтверждает ответ.

Частые вопросы

Что делать, если дискриминант отрицательный? Действительных решений нет — калькулятор выдаёт два комплексно-сопряжённых корня в форме p ± q·i.

Почему a не может быть нулём? Тогда знаменатель 2a обратился бы в ноль, и уравнение перестало бы быть квадратным. В этом случае калькулятор решает линейный вариант: \(x = -c/b\).

Что значит кратный корень? При \(D = 0\) парабола касается оси x в одной точке, поэтому оба корня совпадают: \(x = -\text{b}/(2\text{a})\).