このツールでできること
このツールは、標準形 a·x² + b·x + c = 0 で表されるあらゆる二次方程式を、おなじみの「解の公式」を使って解きます。3つの係数を入力するだけで、2つの解、判別式の値、そして解が実数か複素数かをわかりやすい言葉で表示します。負の係数にも対応しており、複素共役解は p ± q·i という見慣れた形で表示されます。
使い方
x² の係数を a に、x の係数を b に、定数項を c に入力します。係数 a は 0 にできません。もし 0 を入力すると方程式は二次式ではなく一次式になり、その場合ツールは自動的に \(b\cdot x + c = 0\) を解く処理に切り替わります。「計算する」を押すと、x₁、x₂、判別式が表示されます。
解の公式のしくみ
二次方程式の解の公式は $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$ です。平方根の中にある式 \(D = b^{2} - 4ac\) は判別式と呼ばれます。この符号を見れば、解の性質がすべてわかります。\(D > 0\) のときは異なる2つの実数解を持ち、\(D = 0\) のときはちょうど1つの実数解（重解）を持ち、\(D < 0\) のときは2つの複素共役解を持ちます。複素数解の実部は \(-b/(2a)\)、虚部は \(\sqrt{-D}/(2a)\) です。
計算例
\(x^{2} - 3x + 2 = 0\) を解いてみましょう。ここで \(a = 1\)、\(b = -3\)、\(c = 2\) です。判別式は $$D = (-3)^{2} - 4\cdot 1\cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ となり、正の値なので2つの実数解があります。\(\sqrt{1} = 1\) なので、\(x_1 = (3 + 1)/2 = 2\)、\(x_2 = (3 - 1)/2 = 1\) です。この方程式は \((x - 2)(x - 1) = 0\) と因数分解でき、結果が正しいことが確認できます。
よくある質問
判別式が負のときはどうなりますか？ 実数解は存在しません。このツールは2つの複素共役解を \(p \pm q\cdot i\) の形で返します。
なぜ a を 0 にできないのですか？ 分母の \(2a\) が 0 になってしまい、さらにその式は二次方程式ではなくなるためです。この場合、ツールは一次方程式として \(x = -c/b\) を解きます。
重解とはどういう意味ですか？ \(D = 0\) のとき、放物線は x 軸にちょうど1点で接するため、2つの解が一致します。すなわち \(x = -b/(2a)\) です。
