ベクトルの内積とは？
内積（スカラー積とも呼ばれます）は、同じ次元を持つ2つ以上のベクトルから1つの数値を導き出す演算です。2つのベクトルの場合、対応する成分どうしを掛け合わせ、その積をすべて足し合わせた値になります。結果はベクトルではなくスカラー（単一の数値）となり、幾何学・物理学・機械学習など幅広い分野で登場します。たとえば、2つの方向がどれだけ揃っているかを測ったり、力が行う仕事を求めたりする際に使われます。
この計算機の使い方
テキストボックスにベクトルを入力してください。各ベクトルは丸括弧 (1,2,3)、角括弧 [1,2,3]、山括弧 <1,2,3> で囲んでも、単純に1行ずつ入力しても構いません。1つのベクトル内の成分はカンマで区切ります。すべてのベクトルは同じ要素数でなければなりません。正確な値をそのまま見たい場合は「自動（厳密値）」を選び、表示する答えを丸めたい場合は有効数字の桁数を指定してください。
計算式の解説
次元 \(n\) のベクトル \(a\) と \(b\) の内積は $$a\cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$$ で表されます。この計算機はこの考え方を2つ以上のベクトルにも拡張しており、各ベクトルの \(i\) 番目の成分どうしを掛け合わせ、それらの積をすべて足し合わせます。$$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 \cdots = \sum_{i=1}^{n} \left( \prod_{j} v_{j,i} \right)$$ ベクトルがちょうど2つの場合は、おなじみの内積の式に一致します。
計算例
\(a = \langle 3, 5, 8 \rangle\)、\(b = \langle 2, 7, 1 \rangle\) を例に考えてみましょう。内積は $$(3\times 2) + (5\times 7) + (8\times 1) = 6 + 35 + 8 = \mathbf{49}$$ となります。3つのベクトル \(v_1 = \langle 1,2,3 \rangle\)、\(v_2 = \langle 4,5,6 \rangle\)、\(v_3 = \langle 1,1,2 \rangle\) の場合、成分ごとの積は 4、10、36 となり、合計すると 50 になります。
よくある質問
内積はマイナスや0になることはありますか？ はい、あります。互いに垂直（直交）な2つのベクトルの内積は0になり、ほぼ反対方向を向くベクトルどうしでは負の値になります。
長さの異なるベクトルを入力したらどうなりますか？ 内積は同じ次元のベクトルに対してのみ定義されるため、要素数が異なる場合はエラーが表示されます。
有効数字の設定は計算結果に影響しますか？ いいえ。有効数字は表示される最終的な値を丸めるだけで、内部の計算は常に完全な精度で行われます。
