벡터 내적이란?
내적(스칼라곱이라고도 합니다)은 차원이 같은 두 개 이상의 벡터를 받아 하나의 숫자를 돌려주는 연산입니다. 두 벡터의 경우, 서로 대응하는 성분끼리 곱한 값을 모두 더한 것이 내적입니다. 결과는 벡터가 아닌 스칼라(하나의 수)이며, 기하학·물리학·머신러닝 전반에서 폭넓게 쓰입니다. 예를 들어 두 방향이 얼마나 같은 쪽을 향하는지 측정하거나, 힘이 한 일(work)을 계산할 때 활용됩니다.
계산기 사용 방법
입력란에 벡터를 입력하세요. 각 벡터는 소괄호 (1,2,3), 대괄호 [1,2,3], 부등호 <1,2,3>로 감싸거나, 한 줄에 하나씩 그냥 적어도 됩니다. 한 벡터 안의 성분은 쉼표(,)로 구분합니다. 모든 벡터의 성분 개수는 반드시 같아야 합니다. "자동"을 선택하면 정확한 값을 그대로 볼 수 있고, 유효숫자 자릿수를 지정하면 표시되는 결과를 반올림할 수 있습니다.
공식 설명
차원이 \(n\)인 두 벡터 a와 b에 대해 내적은 \(a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n\)입니다. 이 계산기는 이 개념을 두 개 이상의 벡터로 확장합니다.
$$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 \cdots = \sum_{i=1}^{n} \left( \prod_{j} v_{j,i} \right) \quad \text{from } \text{Enter vectors}$$즉, 모든 벡터의 i번째 성분을 함께 곱한 뒤, 그렇게 나온 값들을 전부 더합니다. 벡터가 정확히 두 개일 때는 우리가 익히 아는 내적과 똑같아집니다.
예제 풀이
a = <3, 5, 8>, b = <2, 7, 1>이라고 합시다. 내적은
$$(3 \times 2) + (5 \times 7) + (8 \times 1) = 6 + 35 + 8 = \mathbf{49}$$입니다. 세 벡터 v1 = <1,2,3>, v2 = <4,5,6>, v3 = <1,1,2>의 경우 성분별 곱은 각각 4, 10, 36이며, 이를 모두 더하면 50이 됩니다.
자주 묻는 질문
내적이 음수나 0이 될 수 있나요? 네, 가능합니다. 서로 수직(직교)인 두 벡터의 내적은 0이고, 대략 반대 방향을 향하는 벡터들은 음수 값을 냅니다.
벡터들의 길이가 서로 다르면 어떻게 되나요? 내적은 차원이 같은 벡터에 대해서만 정의됩니다. 따라서 성분 개수가 서로 다르면 계산기가 오류를 표시합니다.
유효숫자 설정이 계산 결과를 바꾸나요? 아니요. 유효숫자는 최종적으로 화면에 표시되는 값만 반올림할 뿐입니다. 실제 계산은 항상 완전한 정밀도로 이루어집니다.
