Qu'est-ce que le produit scalaire de vecteurs ?
Le produit scalaire prend deux vecteurs (ou plus) de même dimension et renvoie un seul nombre. Pour deux vecteurs, il correspond à la somme des produits de leurs composantes correspondantes. Le résultat est un scalaire, et non un vecteur, et on le retrouve partout en géométrie, en physique et en apprentissage automatique - par exemple pour mesurer à quel point deux directions sont alignées ou pour calculer le travail effectué par une force.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez vos vecteurs dans le champ de texte. Chaque vecteur peut être encadré par des parenthèses (1,2,3), des crochets [1,2,3], des chevrons <1,2,3>, ou simplement placé sur sa propre ligne. Séparez les composantes d'un même vecteur par des virgules. Tous les vecteurs doivent comporter le même nombre de termes. Choisissez « Auto » pour afficher la valeur exacte, ou sélectionnez un nombre de chiffres significatifs pour arrondir le résultat affiché.
La formule expliquée
Pour deux vecteurs a et b de dimension \(n\), le produit scalaire s'écrit
$$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$$Ce calculateur généralise l'idée à deux vecteurs ou plus :
$$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 \cdots = \sum_{i=1}^{n} \left( \prod_{j} v_{j,i} \right)$$il multiplie la i-ème composante de tous les vecteurs entre elles, puis additionne l'ensemble de ces produits. Avec exactement deux vecteurs, on retrouve le produit scalaire classique.
Exemple résolu
Prenons \(\vec{a} = \langle 3, 5, 8 \rangle\) et \(\vec{b} = \langle 2, 7, 1 \rangle\). Le produit scalaire vaut
$$(3\times 2) + (5\times 7) + (8\times 1) = 6 + 35 + 8 = \mathbf{49}$$Pour trois vecteurs \(\vec{v}_1 = \langle 1,2,3 \rangle\), \(\vec{v}_2 = \langle 4,5,6 \rangle\), \(\vec{v}_3 = \langle 1,1,2 \rangle\), les produits composante par composante sont \(4\), \(10\) et \(36\), dont la somme donne 50.
FAQ
Le produit scalaire peut-il être négatif ou nul ? Oui. Deux vecteurs perpendiculaires (orthogonaux) ont un produit scalaire nul, et des vecteurs pointant globalement dans des directions opposées donnent un résultat négatif.
Que se passe-t-il si mes vecteurs n'ont pas la même longueur ? Le produit scalaire n'est défini que pour des vecteurs de même dimension : le calculateur affiche donc une erreur si le nombre de termes diffère.
Les chiffres significatifs modifient-ils le calcul ? Non - ils ne font qu'arrondir la valeur finale affichée. Le calcul sous-jacent utilise toujours la précision maximale.
