Qu'est-ce que le produit scalaire ?
Le produit scalaire prend deux vecteurs et renvoie un seul nombre. Pour les vecteurs a = \((a_1, a_2, a_3)\) et b = \((b_1, b_2, b_3)\), il correspond à la somme des produits de leurs composantes correspondantes : $$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$ Le résultat est un scalaire, et non un vecteur. C'est l'une des opérations les plus fondamentales en algèbre linéaire, en physique, en infographie et en apprentissage automatique.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les composantes du vecteur a sur la première ligne et celles du vecteur b sur la seconde. Pour des vecteurs en 2D, laissez simplement les troisièmes composantes (\(a_3\) et \(b_3\)) à 0. Cliquez sur « calculer » : vous obtiendrez le produit scalaire, la norme (longueur) de chaque vecteur et l'angle qui les sépare, exprimé en degrés.
La formule expliquée
Chaque composante de a est multipliée par la composante correspondante de b, puis les produits sont additionnés. L'angle \(\theta\) entre les deux vecteurs découle de la relation \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta\), où \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\). En réarrangeant cette égalité, on obtient $$\theta=\arccos\left(\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert}\right)$$
Exemple détaillé
Soit \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) et \(\mathbf{b} = (4, 5, 6)\). Le produit scalaire vaut $$(1\times 4) + (2\times 5) + (3\times 6) = 4 + 10 + 18 = \mathbf{32}$$ Les normes sont \(\lVert\mathbf{a}\rVert = \sqrt{14} \approx 3{,}742\) et \(\lVert\mathbf{b}\rVert = \sqrt{77} \approx 8{,}775\). L'angle est \(\arccos(32 / (3{,}742 \times 8{,}775)) \approx 12{,}93°\).
FAQ
Que signifie un produit scalaire égal à zéro ? Cela signifie que les deux vecteurs sont perpendiculaires (orthogonaux) : l'angle qui les sépare est de 90°.
Le produit scalaire peut-il être négatif ? Oui. Un produit scalaire négatif indique que l'angle entre les vecteurs dépasse 90° (ils pointent globalement dans des directions opposées).
Quelle est la différence avec le produit vectoriel ? Le produit scalaire renvoie un nombre (un scalaire), tandis que le produit vectoriel renvoie un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs de départ et n'existe qu'en 3D.
