¿Qué es el producto escalar?
El producto escalar (también llamado producto punto) toma dos vectores y devuelve un único número. Para los vectores a = \((a_1, a_2, a_3)\) y b = \((b_1, b_2, b_3)\), es la suma de los productos de sus componentes correspondientes: $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_i a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$ El resultado es un escalar, no un vector. Se trata de una de las operaciones más esenciales del álgebra lineal, la física, los gráficos por computadora y el aprendizaje automático.
Cómo usar esta calculadora
Introduce las componentes del vector a en la primera fila y las del vector b en la segunda. Si trabajas con vectores en 2D, basta con dejar las terceras componentes (\(a_3\) y \(b_3\)) en 0. Pulsa calcular y obtendrás el producto escalar, el módulo (la longitud) de cada vector y el ángulo entre ellos expresado en grados.
La fórmula explicada
Cada componente de a se multiplica por la componente correspondiente de b y los productos se suman. El ángulo \(\theta\) entre los dos vectores se obtiene a partir de la relación \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta\), donde \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\). Despejando se llega a $$\theta=\arccos\left(\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert}\right)$$
Ejemplo resuelto
Sean \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) y \(\mathbf{b} = (4, 5, 6)\). El producto escalar es $$(1\times 4) + (2\times 5) + (3\times 6) = 4 + 10 + 18 = \mathbf{32}$$ Los módulos son \(\lVert\mathbf{a}\rVert = \sqrt{14} \approx 3{,}742\) y \(\lVert\mathbf{b}\rVert = \sqrt{77} \approx 8{,}775\). El ángulo es \(\arccos(32 / (3{,}742 \times 8{,}775)) \approx 12{,}93°\).
Preguntas frecuentes
¿Qué significa un producto escalar igual a cero? Significa que los dos vectores son perpendiculares (ortogonales): el ángulo entre ellos es de 90°.
¿Puede ser negativo el producto escalar? Sí. Un producto escalar negativo indica que el ángulo entre los vectores es mayor de 90° (apuntan, en general, en sentidos opuestos).
¿En qué se diferencia del producto vectorial? El producto escalar devuelve un número (escalar), mientras que el producto vectorial devuelve un vector perpendicular a ambos y solo existe en 3D.
