什麼是向量內積？
內積（又稱純量積或點積）會把兩個向量結合成一個單一數值。對於向量 a = (a₁, a₂, a₃) 與 b = (b₁, b₂, b₃) 而言，內積就是把對應分量相乘後再相加：$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$計算結果是一個純量，而非向量。它是線性代數、物理學、電腦繪圖以及機器學習中最基礎、也最常用的運算之一。
如何使用本計算器
在第一列輸入向量 a 的各個分量，在第二列輸入向量 b 的各個分量。若處理的是二維向量，只要把第三個分量（\(a_3\) 與 \(b_3\)）保持為 0 即可。按下計算後，您就能得到兩向量的內積、各向量的長度（大小），以及它們之間以度為單位的夾角。
公式說明
把 a 的每個分量與 b 對應的分量相乘，再將這些乘積全部加總，就是內積。兩向量之間的夾角 \(\theta\) 則來自關係式 \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta\)，其中 \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)。將公式移項後即可得到 $$\theta=\arccos\left(\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert}\right)$$
實際範例
假設 a = (1, 2, 3)、b = (4, 5, 6)。內積為 $$(1\times 4) + (2\times 5) + (3\times 6) = 4 + 10 + 18 = \mathbf{32}$$兩向量的長度分別為 \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{14}\approx 3.742\)、\(\lVert\mathbf{b}\rVert=\sqrt{77}\approx 8.775\)。夾角則為 $$\arccos\left(\frac{32}{3.742 \times 8.775}\right)\approx 12.93^\circ$$
常見問題
內積等於 0 代表什麼？ 代表兩個向量互相垂直（正交），也就是它們之間的夾角為 90°。
內積可能是負值嗎？ 可以。內積為負，表示兩向量之間的夾角大於 90°（兩者大致朝相反方向）。
內積和外積有什麼不同？ 內積得到的是純量，外積得到的則是一個同時垂直於兩個輸入向量的向量，而且外積只存在於三維空間中。
