什麼是外積？
兩個三維向量 a 與 b 的外積（記作 a × b）會產生一個全新的向量，且這個向量同時垂直於兩個輸入向量。它的方向遵循右手定則，而其長度（大小）等於這兩個向量所張出的平行四邊形面積。本計算機會一次回傳完整的結果向量、它的長度，以及兩向量之間的夾角。
計算機怎麼用
分別輸入向量 a 的 x、y、z 分量（\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)）與向量 b 的 x、y、z 分量（\(b_1\)、\(b_2\)、\(b_3\)）。按下計算後，即可看到外積的各個分量、外積長度 \(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|\)，以及兩向量夾角 \(\theta\)（以度為單位）。
公式拆解
各分量是由行列式展開計算而來：
$$\vec{a}\times\vec{b} = \left( a_2\,b_3 - a_3\,b_2,\;\; a_3\,b_1 - a_1\,b_3,\;\; a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \right)$$
長度為 $$\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}$$ 這同時也等於 \(\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\theta\)。因此夾角可由 $$\theta = \arcsin\!\left( \frac{\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|}{\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|} \right)$$ 反推得到。
實際範例
設 \(\vec{a} = (3, -3, 1)\)、\(\vec{b} = (4, 9, 2)\)。則 \(c_x = (-3)(2) - (1)(9) = -15\)、\(c_y = (1)(4) - (3)(2) = -2\)、\(c_z = (3)(9) - (-3)(4) = 39\)。所以 \(\vec{a}\times\vec{b} = (-15, -2, 39)\)，其長度為 \(\sqrt{225 + 4 + 1521} = \sqrt{1750} \approx 41.83\)。
常見問題
外積符合交換律嗎？ 不符合。\(\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})\)；交換順序會讓方向反轉。
如果結果是零向量怎麼辦？ 這表示兩個向量互相平行（或其中一個是零向量），此時它們的夾角為 0° 或 180°。
外積能用在二維嗎？ 嚴格來說，外積是定義在三維空間的。若要處理二維向量，可將 z 分量都設為 0，這樣就只有 \(c_z\) 會是非零值。
