ما هو الضرب الاتجاهي؟
الضرب الاتجاهي (أو التقاطعي) لمتجهين ثلاثيي الأبعاد a وb، ويُكتب على صورة a × b، هو متجه جديد عمودي على المتجهين المُدخَلين معًا. يتحدد اتجاهه وفق قاعدة اليد اليمنى، ويساوي مقداره مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدده المتجهان. تُرجِع لك هذه الحاسبة المتجه الناتج كاملًا، ومقداره، والزاوية المحصورة بين المتجهين.
طريقة استخدام الحاسبة
أدخِل مركّبات x وy وz للمتجه a (أي \(a_1\) و\(a_2\) و\(a_3\)) وللمتجه b (أي \(b_1\) و\(b_2\) و\(b_3\)). ثم اضغط على زر الحساب لتظهر لك مركّبات الضرب الاتجاهي، ومقداره \(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|\)، والزاوية \(\theta\) بين المتجهين مقيسةً بالدرجات.
شرح الصيغة الرياضية
تُحسَب المركّبات عبر مفكوك المُحدِّد (Determinant) على النحو التالي:
$$\vec{a}\times\vec{b} = \left( a_2\,b_3 - a_3\,b_2,\;\; a_3\,b_1 - a_1\,b_3,\;\; a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \right)$$أما المقدار فهو
$$\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}$$وهو يساوي أيضًا \(\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\theta\). ومن هنا نستخرج الزاوية بالعلاقة
$$\theta = \arcsin\!\left( \frac{\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|}{\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|} \right)$$
مثال محلول
لنفترض أن \(\vec{a} = (3,\, -3,\, 1)\) وأن \(\vec{b} = (4,\, 9,\, 2)\). عندئذٍ يكون \(c_x = (-3)(2) - (1)(9) = -15\)، و\(c_y = (1)(4) - (3)(2) = -2\)، و\(c_z = (3)(9) - (-3)(4) = 39\). ومن ثَم فإن
$$\vec{a}\times\vec{b} = (-15,\, -2,\, 39)$$ومقداره \(\sqrt{225 + 4 + 1521} = \sqrt{1750} \approx 41.83\).
أسئلة شائعة
هل الضرب الاتجاهي إبدالي؟ لا. إذ إن \(\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})\)؛ فتبديل ترتيب المتجهين يعكس اتجاه الناتج.
ماذا لو كان الناتج هو المتجه الصفري؟ في هذه الحالة يكون المتجهان متوازيين (أو يكون أحدهما صفريًا)، وتكون الزاوية بينهما 0° أو 180°.
هل يصلح هذا في البعدين (2D)؟ يُعرَّف الضرب الاتجاهي الحقيقي في الفضاء ثلاثي الأبعاد. أما مع متجهين ثنائيي الأبعاد فاجعل مركّبتي z تساويان صفرًا، وعندها تكون \(c_z\) وحدها مختلفة عن الصفر.
