什么是叉乘（叉积）？
两个三维向量 a 与 b 的叉乘，记作 a × b，结果是一个同时垂直于这两个向量的新向量。它的方向遵循右手定则，模长则等于这两个向量所张成的平行四边形的面积。本计算器会一次性给出完整的结果向量、它的模长，以及两个输入向量之间的夹角。
如何使用本计算器
分别输入向量 a 的 x、y、z 三个分量（\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)）和向量 b 的三个分量（\(b_1\)、\(b_2\)、\(b_3\)），点击计算即可看到叉乘结果的各分量、模长 \(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|\)，以及两向量之间以度数表示的夹角 \(\theta\)。
公式详解
各分量通过行列式展开计算得到：
$$\vec{a}\times\vec{b} = \left( a_2\,b_3 - a_3\,b_2,\;\; a_3\,b_1 - a_1\,b_3,\;\; a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \right)$$
模长为 $$\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}$$ 它同时也等于 \(\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\theta\)。由此可反求夹角：$$\theta = \arcsin\!\left( \frac{\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|}{\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|} \right)$$
计算实例
设 \(\vec{a} = (3, -3, 1)\)，\(\vec{b} = (4, 9, 2)\)。则 \(c_x = (-3)(2) - (1)(9) = -15\)，\(c_y = (1)(4) - (3)(2) = -2\)，\(c_z = (3)(9) - (-3)(4) = 39\)。因此 $$\vec{a}\times\vec{b} = (-15, -2, 39)$$ 其模长为 $$\sqrt{225 + 4 + 1521} = \sqrt{1750} \approx 41.83$$
常见问题
叉乘满足交换律吗？不满足。\(\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})\)；交换两个向量的顺序，结果方向会反过来。
如果结果是零向量怎么办？说明这两个向量平行（或其中一个为零向量），它们之间的夹角为 0° 或 180°。
叉乘适用于二维吗？严格意义上的叉乘只在三维空间中定义。对于二维向量，可以把 z 分量设为 0，这样只有 \(c_z\) 会是非零值。
