外積とは？
2つの3次元ベクトル a と b の外積（a × b と表記します）は、両方のベクトルに垂直な新しいベクトルです。その向きは「右手の法則」に従い、大きさは2つのベクトルが張る平行四辺形の面積に等しくなります。このツールでは、結果ベクトルそのものに加えて、その大きさと2ベクトルのなす角まで一度に求められます。
このツールの使い方
ベクトル a の x・y・z 成分（\(a_1, a_2, a_3\)）と、ベクトル b の x・y・z 成分（\(b_1, b_2, b_3\)）を入力します。「計算」を押すと、外積の各成分、大きさ \(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|\)、そして2つのベクトルのなす角 \(\theta\)（度単位）が表示されます。
計算式の解説
各成分は、行列式の展開として次のように求められます。
$$\vec{a}\times\vec{b} = \left( a_2\,b_3 - a_3\,b_2,\;\; a_3\,b_1 - a_1\,b_3,\;\; a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \right)$$大きさは $$\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}$$ で計算でき、これは \(\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\theta\) にも等しくなります。ここから、なす角は $$\theta = \arcsin\!\left( \frac{\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|}{\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|} \right)$$ として求められます。
計算例
\(\vec{a} = (3, -3, 1)\)、\(\vec{b} = (4, 9, 2)\) としてみましょう。すると \(c_x = (-3)(2) - (1)(9) = -15\)、\(c_y = (1)(4) - (3)(2) = -2\)、\(c_z = (3)(9) - (-3)(4) = 39\) となります。したがって $$\vec{a}\times\vec{b} = (-15, -2, 39)$$ で、その大きさは $$\sqrt{225 + 4 + 1521} = \sqrt{1750} \approx 41.83$$ です。
よくある質問
外積に交換法則は成り立ちますか？ いいえ。\(\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})\) となり、順序を入れ替えると向きが反転します。
結果がゼロベクトルになったらどうなりますか？ その場合、2つのベクトルは平行（またはどちらかがゼロベクトル）であり、なす角は 0° か 180° です。
2次元でも使えますか？ 本来の外積は3次元で定義されます。2次元のベクトルを扱う場合は z 成分を 0 にすれば、\(c_z\) だけがゼロ以外の値になります。
