Калькулятор векторного произведения

Введите расчет

a₁ (x)

a₂ (y)

a₃ (z)

b₁ (x)

b₂ (y)

b₃ (z)

Математическая формула

Show calculation steps (2)

1. Magnitude |a×b|

   

   Length of the cross product vector

2. Angle Between Vectors

   

   theta = arcsin( |a×b| / (|a|·|b|) ), in degrees

Результатов

Векторное произведение a × b

(-15, -2, 39)

вектор, перпендикулярный обоим векторам a и b

Модуль |a × b|	41,833
Угол θ между a и b	72,74°

Что такое векторное произведение?

Векторное произведение двух трёхмерных векторов a и b, обозначаемое a × b, — это новый вектор, перпендикулярный обоим исходным. Его направление определяется по правилу правой руки, а длина (модуль) равна площади параллелограмма, построенного на этих двух векторах. Этот калькулятор выдаёт полный результирующий вектор, его модуль и угол между исходными векторами.

The right-hand rule gives the direction of a×b.

The cross product a×b is perpendicular to the plane containing a and b.

Как пользоваться калькулятором

Введите координаты x, y и z вектора a (\(a_1\), \(a_2\), \(a_3\)) и вектора b (\(b_1\), \(b_2\), \(b_3\)). Нажмите «Вычислить», чтобы увидеть компоненты векторного произведения, его модуль \(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|\) и угол \(\theta\) между двумя векторами в градусах.

Реклама

Разбор формулы

Компоненты вычисляются как разложение определителя:

$$\vec{a}\times\vec{b} = \left( a_2\,b_3 - a_3\,b_2,\;\; a_3\,b_1 - a_1\,b_3,\;\; a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \right)$$

Модуль равен $$\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}$$ что также равно \(\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\theta\). Отсюда находим угол: $$\theta = \arcsin\!\left( \frac{\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|}{\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|} \right)$$

The magnitude |a×b| equals the area of the parallelogram spanned by a and b.

Пример с решением

Пусть \(\vec{a} = (3, -3, 1)\) и \(\vec{b} = (4, 9, 2)\). Тогда \(c_x = (-3)(2) - (1)(9) = -15\), \(c_y = (1)(4) - (3)(2) = -2\), \(c_z = (3)(9) - (-3)(4) = 39\). Значит, \(\vec{a}\times\vec{b} = (-15, -2, 39)\), а его модуль равен \(\sqrt{225 + 4 + 1521} = \sqrt{1750} \approx 41{,}83\).

Реклама

Частые вопросы

Является ли векторное произведение коммутативным? Нет. \(\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})\); перестановка множителей местами меняет направление результата на противоположное.

Что означает нулевой вектор в результате? Тогда два вектора параллельны (или один из них нулевой), а угол между ними равен 0° или 180°.

Работает ли это для 2D? Настоящее векторное произведение определено в трёхмерном пространстве. Для плоских (2D) векторов задайте z-компоненты равными 0 — тогда отличной от нуля будет только компонента \(c_z\).