Что такое векторное произведение?
Векторное произведение двух трёхмерных векторов A и B даёт третий вектор, перпендикулярный (ортогональный) обоим исходным. Его широко применяют в физике, инженерии и компьютерной графике — для расчёта момента силы, момента импульса, нормалей к поверхности и осей вращения. В отличие от скалярного произведения, результатом которого является число, векторное произведение возвращает именно вектор.
Как пользоваться калькулятором
Введите координаты x, y и z для векторов A и B. Калькулятор выдаст три координаты векторного произведения \(A \times B\), а также длину (модуль) полученного вектора. Направление итогового вектора всегда определяется правилом правой руки.
Разбор формулы
Для A = (a₁, a₂, a₃) и B = (b₁, b₂, b₃):
$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{pmatrix} \text{A}_y\,\text{B}_z - \text{A}_z\,\text{B}_y \\[0.4em] \text{A}_z\,\text{B}_x - \text{A}_x\,\text{B}_z \\[0.4em] \text{A}_x\,\text{B}_y - \text{A}_y\,\text{B}_x \end{pmatrix}$$ Модуль равен $$\left\| \vec{A} \times \vec{B} \right\| = \sqrt{ C_x^{2} + C_y^{2} + C_z^{2} },$$ что также равно \(|A||B|\sin(\theta)\) — площади параллелограмма, построенного на векторах A и B.
Пример с решением
Пусть A = (1, 2, 3) и B = (4, 5, 6).
$$c_x = 2\cdot 6 - 3\cdot 5 = 12 - 15 = -3$$ $$c_y = 3\cdot 4 - 1\cdot 6 = 12 - 6 = 6$$ $$c_z = 1\cdot 5 - 2\cdot 4 = 5 - 8 = -3$$
Получаем \(A \times B = (-3, 6, -3)\) с модулем \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7{,}348\).
Частые вопросы
Является ли векторное произведение коммутативным? Нет. \(A \times B = -(B \times A)\): если поменять векторы местами, направление результата меняется на противоположное.
А если векторы параллельны? Тогда векторное произведение равно нулевому вектору, поскольку \(\sin(0) = 0\).
Работает ли это для 2D? Векторное произведение определено для трёхмерных векторов. Для плоских (2D) векторов задайте координаты z равными 0 — у результата будет только координата z.
