外積とは？
2つの3次元ベクトル A と B の外積（クロス積）は、両方のベクトルに垂直（直交）な第3のベクトルを生み出します。物理学・工学・コンピュータグラフィックスの分野で幅広く使われ、トルクや角運動量、面の法線ベクトル、回転軸を求める際に欠かせません。スカラー値を返す内積（ドット積）とは異なり、外積はベクトルを返すのが大きな特徴です。
本ツールの使い方
ベクトル A と B それぞれの x・y・z 成分を入力してください。本ツールは A × B の3つの成分に加え、得られた結果ベクトルの大きさを算出します。結果ベクトルの向きは、つねに「右手の法則」によって決まります。
計算式の解説
A = (a₁, a₂, a₃)、B = (b₁, b₂, b₃) のとき、外積は次のように表されます。
$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{pmatrix} \text{A}_y\,\text{B}_z - \text{A}_z\,\text{B}_y \\[0.4em] \text{A}_z\,\text{B}_x - \text{A}_x\,\text{B}_z \\[0.4em] \text{A}_x\,\text{B}_y - \text{A}_y\,\text{B}_x \end{pmatrix}$$その大きさは $$\left\| \vec{A} \times \vec{B} \right\| = \sqrt{ C_x^{2} + C_y^{2} + C_z^{2} }$$ で求められ、これは \(|A||B|\sin(\theta)\) にも等しく、ベクトル A と B が張る平行四辺形の面積と一致します。
計算例
A = (1, 2, 3)、B = (4, 5, 6) としてみましょう。
\(c_x = 2\cdot6 - 3\cdot5 = 12 - 15 = -3\)
\(c_y = 3\cdot4 - 1\cdot6 = 12 - 6 = 6\)
\(c_z = 1\cdot5 - 2\cdot4 = 5 - 8 = -3\)
したがって \(A \times B = (-3, 6, -3)\) となり、その大きさは $$\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7.348$$ です。
よくある質問（FAQ）
外積に交換法則は成り立ちますか？ 成り立ちません。\(A \times B = -(B \times A)\) であり、順序を入れ替えると向きが逆になります。
2つのベクトルが平行な場合はどうなりますか？ \(\sin(0) = 0\) となるため、外積はゼロベクトルになります。
2次元でも使えますか？ 外積は3次元ベクトルに対して定義されています。2次元ベクトルを扱う場合は z 成分を 0 に設定してください。結果は z 成分のみを持つベクトルになります。
