외적이란?
두 3차원 벡터 A와 B의 외적은 두 벡터 모두에 수직(직교)인 또 하나의 벡터를 만들어냅니다. 외적은 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽스 분야에서 토크, 각운동량, 면의 법선 벡터, 회전축을 구할 때 폭넓게 사용됩니다. 스칼라 값을 결과로 내놓는 내적과 달리, 외적의 결과는 벡터입니다.
계산기 사용법
벡터 A와 벡터 B의 x, y, z 성분을 각각 입력하세요. 계산기는 A × B의 세 성분과 함께 결과 벡터의 크기까지 함께 알려줍니다. 결과 벡터의 방향은 항상 오른손 법칙에 따라 결정됩니다.
공식 설명
A = (a₁, a₂, a₃), B = (b₁, b₂, b₃)일 때:
$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{pmatrix} \text{A}_y\,\text{B}_z - \text{A}_z\,\text{B}_y \\[0.4em] \text{A}_z\,\text{B}_x - \text{A}_x\,\text{B}_z \\[0.4em] \text{A}_x\,\text{B}_y - \text{A}_y\,\text{B}_x \end{pmatrix}$$A × B = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁) 입니다. 그 크기는 \(\left\| \vec{A} \times \vec{B} \right\| = \sqrt{ C_x^{2} + C_y^{2} + C_z^{2} }\)이며, 이는 \(|A||B|\sin(\theta)\), 즉 A와 B가 이루는 평행사변형의 넓이와도 같습니다.
풀이 예제
A = (1, 2, 3), B = (4, 5, 6)이라고 합시다.
$$C_x = 2\cdot6 - 3\cdot5 = 12 - 15 = -3$$$$C_y = 3\cdot4 - 1\cdot6 = 12 - 6 = 6$$$$C_z = 1\cdot5 - 2\cdot4 = 5 - 8 = -3$$따라서 A × B = (−3, 6, −3)이며, 그 크기는 \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7.348\) 입니다.
자주 묻는 질문
외적은 교환법칙이 성립하나요? 아닙니다. \(\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})\)로, 순서를 바꾸면 방향이 반대가 됩니다.
두 벡터가 평행하면 어떻게 되나요? \(\sin(0) = 0\)이므로 외적은 영벡터가 됩니다.
2차원에서도 쓸 수 있나요? 외적은 3차원 벡터에 대해 정의됩니다. 2차원 벡터의 경우 z 성분을 0으로 두면 되며, 그 결과는 z 성분만 갖게 됩니다.
