Qu'est-ce que le produit vectoriel ?
Le produit vectoriel de deux vecteurs tridimensionnels A et B donne un troisième vecteur perpendiculaire (orthogonal) aux deux premiers. On l'utilise largement en physique, en ingénierie et en infographie pour déterminer le moment d'une force (couple), le moment cinétique, les normales aux surfaces ou encore les axes de rotation. Contrairement au produit scalaire, qui fournit un nombre, le produit vectoriel fournit un vecteur.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les composantes x, y et z du vecteur A et du vecteur B. Le calculateur renvoie les trois composantes de \(\vec{A} \times \vec{B}\) ainsi que la norme du vecteur obtenu. Le vecteur résultat pointe toujours dans la direction donnée par la règle de la main droite.
La formule expliquée
Pour A = (a₁, a₂, a₃) et B = (b₁, b₂, b₃) :
$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{pmatrix} \text{A}_y\,\text{B}_z - \text{A}_z\,\text{B}_y \\[0.4em] \text{A}_z\,\text{B}_x - \text{A}_x\,\text{B}_z \\[0.4em] \text{A}_x\,\text{B}_y - \text{A}_y\,\text{B}_x \end{pmatrix}$$ La norme vaut $$\left\| \vec{A} \times \vec{B} \right\| = \sqrt{ C_x^{2} + C_y^{2} + C_z^{2} },$$ ce qui équivaut aussi à \(|A||B|\sin(\theta)\), c'est-à-dire l'aire du parallélogramme construit sur A et B.
Exemple détaillé
Prenons A = (1, 2, 3) et B = (4, 5, 6).
$$c_x = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$$ $$c_y = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$$ $$c_z = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$$
On obtient donc \(\vec{A} \times \vec{B} = (-3, 6, -3)\), de norme $$\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7{,}348.$$
FAQ
Le produit vectoriel est-il commutatif ? Non. \(\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})\) : inverser l'ordre des vecteurs inverse la direction du résultat.
Que se passe-t-il si les vecteurs sont parallèles ? Le produit vectoriel est le vecteur nul, car \(\sin(0) = 0\).
Fonctionne-t-il en 2D ? Le produit vectoriel est défini pour des vecteurs 3D. Pour des vecteurs 2D, mettez les composantes z à 0 : le résultat n'aura alors qu'une composante z.
