क्रॉस प्रोडक्ट क्या होता है?
दो त्रि-आयामी (3D) सदिशों A और B का क्रॉस प्रोडक्ट एक तीसरा सदिश देता है, जो दोनों के लंबवत (ऑर्थोगोनल) होता है। भौतिकी, इंजीनियरिंग और कंप्यूटर ग्राफिक्स में इसका खूब इस्तेमाल होता है — जैसे टॉर्क, कोणीय संवेग (एंगुलर मोमेंटम), सतह के नॉर्मल और घूर्णन अक्ष निकालने में। डॉट प्रोडक्ट जहाँ एक अदिश (स्केलर) देता है, वहीं क्रॉस प्रोडक्ट एक पूरा सदिश देता है।
इस कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें
सदिश A और सदिश B के x, y और z घटक भरें। कैलकुलेटर A × B के तीनों घटक और परिणामी सदिश का परिमाण (मैग्निट्यूड) दोनों दिखाता है। परिणामी सदिश हमेशा दाएँ-हाथ के नियम (राइट-हैंड रूल) से तय दिशा में इशारा करता है।
सूत्र को समझें
मान लीजिए A = (a₁, a₂, a₃) और B = (b₁, b₂, b₃):
$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{pmatrix} \text{A}_y\,\text{B}_z - \text{A}_z\,\text{B}_y \\[0.4em] \text{A}_z\,\text{B}_x - \text{A}_x\,\text{B}_z \\[0.4em] \text{A}_x\,\text{B}_y - \text{A}_y\,\text{B}_x \end{pmatrix}$$ इसका परिमाण $$\left\| \vec{A} \times \vec{B} \right\| = \sqrt{ C_x^{2} + C_y^{2} + C_z^{2} }$$ होता है, जो \(|A||B|\sin(\theta)\) के बराबर भी है — यानी A और B से बने समांतर चतुर्भुज (पैरेललोग्राम) का क्षेत्रफल।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए A = (1, 2, 3) और B = (4, 5, 6)।
$$c_x = 2\cdot6 - 3\cdot5 = 12 - 15 = -3$$ $$c_y = 3\cdot4 - 1\cdot6 = 12 - 6 = 6$$ $$c_z = 1\cdot5 - 2\cdot4 = 5 - 8 = -3$$
इसलिए A × B = (−3, 6, −3) और इसका परिमाण \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7.348\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या क्रॉस प्रोडक्ट क्रमविनिमेय (कम्यूटेटिव) है? नहीं। \(\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})\); क्रम बदलते ही दिशा उलट जाती है।
अगर दोनों सदिश समांतर हों तो? क्रॉस प्रोडक्ट शून्य सदिश हो जाता है, क्योंकि \(\sin(0) = 0\) होता है।
क्या यह 2D में काम करता है? क्रॉस प्रोडक्ट 3D सदिशों के लिए परिभाषित है। 2D सदिशों के लिए z घटक को 0 रख दें; तब परिणाम में सिर्फ z घटक ही आएगा।
