दूरी सूत्र क्या है?
दूरी सूत्र दो-आयामी निर्देशांक समतल में दो बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा (यूक्लिडियन) दूरी निकालता है। यदि पहला बिंदु (x₁, y₁) पर और दूसरा बिंदु (x₂, y₂) पर हो, तो दूरी d उन्हें जोड़ने वाले खंड की लंबाई होती है। दरअसल यह पाइथागोरस प्रमेय का ही सीधा अनुप्रयोग है, जिसमें बिंदुओं के बीच के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अंतरों का उपयोग होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने पहले बिंदु के निर्देशांक (x₁ और y₁) और दूसरे बिंदु के निर्देशांक (x₂ और y₂) दर्ज करें। 'गणना करें' पर क्लिक करते ही टूल आपको सटीक दूरी के साथ-साथ क्षैतिज परिवर्तन (Δx) और ऊर्ध्वाधर परिवर्तन (Δy) भी दिखा देगा। निर्देशांक धनात्मक, ऋणात्मक, पूर्ण संख्याएँ या दशमलव — कुछ भी हो सकते हैं।
सूत्र को समझें
सूत्र है $$d = \sqrt{\left(\text{x}_2 - \text{x}_1\right)^2 + \left(\text{y}_2 - \text{y}_1\right)^2}$$। यहाँ अंतर \(\text{x}_2 - \text{x}_1\) और \(\text{y}_2 - \text{y}_1\) एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ बनाते हैं। दोनों भुजाओं का वर्ग करके उन्हें जोड़ें और फिर वर्गमूल लें — यही कर्ण मिलता है, जो दोनों बिंदुओं के बीच की सीधी दूरी है।
हल किया हुआ उदाहरण
(1, 2) से (4, 6) तक की दूरी निकालिए। यहाँ \(\Delta x = 4 - 1 = 3\) और \(\Delta y = 6 - 2 = 4\) होता है। अतः $$d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$। दोनों बिंदु ठीक 5 इकाई की दूरी पर हैं — यही मशहूर 3-4-5 समकोण त्रिभुज है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या बिंदुओं का क्रम मायने रखता है? नहीं। चूँकि अंतरों का वर्ग किया जाता है, इसलिए बिंदुओं को आपस में बदल देने पर भी दूरी वही रहती है।
क्या दूरी ऋणात्मक हो सकती है? नहीं। दूरी हमेशा शून्य या धनात्मक ही होती है, क्योंकि यह वर्गों के योग का वर्गमूल होती है।
क्या मैं इसे 3D बिंदुओं के लिए इस्तेमाल कर सकता हूँ? यह कैलकुलेटर केवल 2D बिंदुओं के लिए है। 3D के लिए आपको वर्गमूल के अंदर एक \(\left(\text{z}_2 - \text{z}_1\right)^2\) पद और जोड़ना होगा।
