गोले का समीकरण क्या होता है?
गोला त्रि-आयामी (3D) स्थान के उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक केंद्र बिंदु से एक निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर स्थित होते हैं। इसका मानक रूप समीकरण है \(\left(x - h\right)^2 + \left(y - k\right)^2 + \left(z - l\right)^2 = r^{2}\), जहाँ (h, k, l) केंद्र है और r त्रिज्या। यह कैलकुलेटर आपके लिए यही समीकरण तैयार करता है और साथ ही गोले का व्यास, पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन भी बताता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
केंद्र के तीनों निर्देशांक भरें — h (x), k (y) और l (z) — इसके बाद त्रिज्या r दर्ज करें। टूल आपके मानों को मानक रूप में रखकर पूरा समीकरण और दाईं ओर \(r^2\) दिखा देता है। केंद्र में ऋणात्मक संख्याएँ भी इस्तेमाल की जा सकती हैं; समीकरण इन्हें सही ढंग से दर्शाएगा — उदाहरण के लिए, जब \(h = -3\) हो तो \(\left(x + 3\right)^2\) दिखेगा।
सूत्र की व्याख्या
यह समीकरण सीधे 3D दूरी सूत्र से निकलता है। गोले पर स्थित किसी भी बिंदु (x, y, z) और केंद्र (h, k, l) के बीच की दूरी r के बराबर होती है। दूरी समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर वर्गमूल हट जाता है और साफ-सुथरा मानक रूप मिल जाता है। त्रिज्या r हमेशा ऋणेतर (non-negative) होती है, और \(r^2\) दाईं ओर का स्थिरांक होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए किसी गोले का केंद्र (2, −1, 3) पर है और त्रिज्या 5 है। मान रखने पर मिलता है $$\left(x - 2\right)^2 + \left(y - (-1)\right)^2 + \left(z - 3\right)^2 = 5^2,$$ जो सरल होकर बनता है $$\left(x - 2\right)^2 + \left(y + 1\right)^2 + \left(z - 3\right)^2 = 25.$$ इसका व्यास 10 है, पृष्ठीय क्षेत्रफल \(4\pi(25) \approx 314.16\) है, और आयतन \(\frac{4}{3}\pi(125) \approx 523.60\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि केंद्र मूल बिंदु (origin) पर हो तो? तब \(h = k = l = 0\) होता है और समीकरण सरल होकर \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\) बन जाता है।
क्या त्रिज्या शून्य हो सकती है? 0 त्रिज्या केवल एक बिंदु (एक पतित/degenerate गोला) को दर्शाती है, न कि कोई वास्तविक पृष्ठ।
यह वृत्त से कैसे अलग है? वृत्त द्वि-आयामी (2D) होता है और दो निर्देशांकों का उपयोग करता है; गोला त्रि-आयामी (3D) होता है और इसमें z-पद \(\left(z - l\right)^2\) जुड़ जाता है।
