Qu'est-ce que l'équation d'une sphère ?
Une sphère est l'ensemble de tous les points de l'espace 3D situés à une distance fixe (le rayon) d'un même point central. Son équation sous forme standard s'écrit \((x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2\), où (h, k, l) désigne le centre et r le rayon. Ce calculateur établit cette équation pour vous et indique également le diamètre, l'aire et le volume de la sphère.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les trois coordonnées du centre — h (x), k (y) et l (z) — puis indiquez le rayon r. L'outil remplace vos valeurs dans la forme standard et affiche l'équation complète ainsi que \(r^2\) dans le membre de droite. Le centre peut comporter des nombres négatifs : l'équation affichera correctement, par exemple, \((x + 3)^2\) lorsque h vaut −3.
La formule expliquée
L'équation découle directement de la formule de distance en 3D. La distance entre n'importe quel point (x, y, z) de la sphère et le centre (h, k, l) est égale à r. En élevant au carré les deux membres de l'équation de distance, on supprime la racine carrée et l'on obtient la forme standard épurée :
$$\left(x - \text{h}\right)^2 + \left(y - \text{k}\right)^2 + \left(z - \text{l}\right)^2 = \text{r}^{\,2}$$Le rayon r est toujours positif ou nul, et \(r^2\) constitue la constante du membre de droite.
Exemple concret
Supposons une sphère centrée en (2, −1, 3) et de rayon 5. La substitution donne
$$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 + (z - 3)^2 = 5^2$$ce qui se simplifie en \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25\). Le diamètre vaut 10, l'aire est égale à \(4\pi(25) \approx 314{,}16\) et le volume à \(\frac{4}{3}\pi(125) \approx 523{,}60\).
FAQ
Que se passe-t-il si le centre est à l'origine ? Alors \(h = k = l = 0\) et l'équation se simplifie en \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\).
Le rayon peut-il être nul ? Un rayon de 0 décrit un point unique (une sphère dégénérée) et non une véritable surface.
Quelle différence avec un cercle ? Un cercle est en 2D et utilise deux coordonnées ; une sphère est en 3D et ajoute le terme en z, soit \((z - l)^2\).
