ما هي معادلة الكرة؟
الكرة هي مجموعة كل النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد التي تبعد مسافة ثابتة (نصف القطر) عن نقطة مركزية واحدة. وتُكتب معادلتها بالصيغة القياسية على النحو التالي: \(\left(x - \text{h}\right)^2 + \left(y - \text{k}\right)^2 + \left(z - \text{l}\right)^2 = \text{r}^{\,2}\)، حيث تمثّل (h, k, l) المركز ويمثّل r نصف القطر. تقوم هذه الحاسبة بتكوين هذه المعادلة نيابةً عنك، كما تعرض قطر الكرة ومساحتها السطحية وحجمها.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الإحداثيات الثلاثة للمركز — h (المحور x) و k (المحور y) و l (المحور z) — ثم أدخل نصف القطر r. تقوم الأداة بتعويض القيم في الصيغة القياسية وتعرض المعادلة المكتملة إلى جانب قيمة r² في الطرف الأيمن. يمكن أن يحتوي المركز على أعداد سالبة، وستُظهر المعادلة الصيغة الصحيحة؛ فمثلًا تظهر \(\left(x + 3\right)^2\) عندما تكون قيمة h مساوية لـ −3.
شرح الصيغة الرياضية
تُشتق المعادلة مباشرةً من صيغة المسافة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. فالمسافة بين أي نقطة (x, y, z) تقع على سطح الكرة وبين المركز (h, k, l) تساوي نصف القطر r. وعند تربيع طرفي معادلة المسافة، يختفي الجذر التربيعي ونحصل على الصيغة القياسية النظيفة. ونصف القطر r دائمًا قيمة غير سالبة، بينما يمثّل r² الثابت في الطرف الأيمن.
مثال محلول
لنفترض أن لدينا كرة مركزها (2, −1, 3) ونصف قطرها 5. بالتعويض نحصل على $$\left(x - 2\right)^2 + \left(y - \left(-1\right)\right)^2 + \left(z - 3\right)^2 = 5^2$$ وهو ما يُبسَّط إلى $$\left(x - 2\right)^2 + \left(y + 1\right)^2 + \left(z - 3\right)^2 = 25$$. وبذلك يكون القطر 10، والمساحة السطحية \(4\pi(25) \approx 314.16\)، والحجم \(\frac{4}{3}\pi(125) \approx 523.60\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان المركز عند نقطة الأصل؟ في هذه الحالة تكون \(\text{h} = \text{k} = \text{l} = 0\) وتُبسَّط المعادلة إلى \(x^2 + y^2 + z^2 = \text{r}^2\).
هل يمكن أن يساوي نصف القطر صفرًا؟ نصف القطر الذي يساوي 0 يصف نقطة واحدة (كرة متلاشية)، وليس سطحًا حقيقيًا.
ما الفرق بين الكرة والدائرة؟ الدائرة شكل ثنائي الأبعاد يستخدم إحداثيين فقط، أما الكرة فهي ثلاثية الأبعاد وتضيف الحد الخاص بالمحور z وهو \(\left(z - \text{l}\right)^2\).
