¿Qué es la ecuación de una esfera?
Una esfera es el conjunto de todos los puntos del espacio tridimensional que se encuentran a una distancia fija (el radio) de un único punto central. Su ecuación en forma canónica es \(\left(x - \text{h}\right)^2 + \left(y - \text{k}\right)^2 + \left(z - \text{l}\right)^2 = \text{r}^{\,2}\), donde (h, k, l) es el centro y r es el radio. Esta calculadora construye esa ecuación por ti y, además, te indica el diámetro, el área superficial y el volumen de la esfera.
Cómo usar esta calculadora
Introduce las tres coordenadas del centro —h (x), k (y) y l (z)— y, a continuación, el radio r. La herramienta sustituye tus valores en la forma canónica y muestra la ecuación completa junto con r² en el segundo miembro. El centro admite números negativos: la ecuación reflejará correctamente, por ejemplo, \(\left(x + 3\right)^2\) cuando h sea −3.
La fórmula explicada
La ecuación se deduce directamente de la fórmula de la distancia en 3D. La distancia entre cualquier punto (x, y, z) de la esfera y el centro (h, k, l) es igual a r. Al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación de la distancia se elimina la raíz cuadrada y se obtiene la limpia forma canónica. El radio r siempre es no negativo, y r² es la constante que queda en el segundo miembro.
Ejemplo resuelto
Supongamos una esfera centrada en (2, −1, 3) con radio 5. Al sustituir obtenemos $$\left(x - 2\right)^2 + \left(y - (-1)\right)^2 + \left(z - 3\right)^2 = 5^2,$$ que se simplifica a \(\left(x - 2\right)^2 + \left(y + 1\right)^2 + \left(z - 3\right)^2 = 25\). El diámetro es 10, el área superficial es \(4\pi(25) \approx 314{,}16\) y el volumen es \(\frac{4}{3}\pi(125) \approx 523{,}60\).
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si el centro está en el origen? Entonces \(h = k = l = 0\) y la ecuación se simplifica a \(x^2 + y^2 + z^2 = \text{r}^{\,2}\).
¿Puede el radio ser cero? Un radio de 0 describe un único punto (una esfera degenerada), no una superficie real.
¿En qué se diferencia de una circunferencia? Una circunferencia es bidimensional y usa dos coordenadas; una esfera es tridimensional y añade el término z, \(\left(z - \text{l}\right)^2\).
