球の方程式とは？
球とは、3次元空間において、ある1つの中心点から一定の距離（半径）にあるすべての点の集合です。その標準形の方程式は \((x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2\) で表され、(h, k, l) が中心、r が半径を意味します。本ツールはこの方程式を自動で組み立てるだけでなく、球の直径・表面積・体積もまとめて計算します。
$$\left(x - \text{h}\right)^2 + \left(y - \text{k}\right)^2 + \left(z - \text{l}\right)^2 = \text{r}^{\,2}$$
使い方
まず中心の3つの座標 — h（x）、k（y）、l（z）— を入力し、続いて半径 r を入力してください。ツールは入力値を標準形に代入し、完成した方程式を右辺の \(r^2\) とともに表示します。中心の座標には負の数も使えます。たとえば h が −3 のとき、方程式は \((x + 3)^2\) と正しく表示されます。
公式の解説
この方程式は、3次元の距離の公式から直接導かれます。球面上の任意の点 (x, y, z) と中心 (h, k, l) との距離は、つねに半径 r に等しくなります。距離の式の両辺を2乗すると平方根が消え、すっきりとした標準形が得られます。半径 r はつねに0以上であり、右辺の定数項が \(r^2\) となります。
計算例
中心が (2, −1, 3)、半径が 5 の球を考えてみましょう。値を代入すると
$$\left(x - 2\right)^2 + \left(y - (-1)\right)^2 + \left(z - 3\right)^2 = 5^2$$となり、整理すると \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 25\) になります。直径は 10、表面積は \(4\pi(25) \approx 314.16\)、体積は \(\frac{4}{3}\pi(125) \approx 523.60\) です。
よくある質問
中心が原点にある場合は？ その場合は \(h = k = l = 0\) となり、方程式は \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\) に簡略化されます。
半径を0にできますか？ 半径が0のときは1つの点（退化した球）を表すだけで、真の曲面にはなりません。
円との違いは何ですか？ 円は2次元で2つの座標を使いますが、球は3次元で、さらに z の項 \((z - l)^2\) が加わります。
