この計算ツールでできること
このツールは、座標平面上で2本の直線が交わるただ1つの点(x, y)を求めます。各直線は一般形 \(a_1x + b_1y = c_1\) と \(a_2x + b_2y = c_2\) で表します。6つの係数を入力するだけで連立方程式が瞬時に解け、2直線が1点で交わるのか、平行で交わらないのか、あるいは同じ直線(交点が無数にある)なのかを判定します。
使い方
まず各直線を \(ax + by = c\) の形に書き直します。たとえば、傾きと切片で表した \(y = 2x + 1\) は、\(-2x + 1y = 1\)(つまり \(a = -2\)、\(b = 1\)、\(c = 1\))になります。2本の直線それぞれの a、b、c の値を入力欄に打ち込めば、交点が表示されます。負の数や小数の係数にもそのまま対応しています。
公式の解説
この連立方程式はクラメルの公式で解きます。カギとなるのが行列式 \(D = a_1b_2 - a_2b_1\) です。\(D \neq 0\) のときは解がちょうど1つあり、 $$ x = \frac{c_1\,b_2 - c_2\,b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1\,c_2 - a_2\,c_1}{D} $$ で求まります。\(D = 0\) のときは2直線の傾きが等しく、方程式が比例関係にあれば2直線は一致し、そうでなければ平行で交わることはありません。
計算例
直線1を \(x + y = 5\)、直線2を \(x - y = 1\) とします。このとき \(a_1=1\)、\(b_1=1\)、\(c_1=5\)、\(a_2=1\)、\(b_2=-1\)、\(c_2=1\) です。行列式は \((1)(-1) - (1)(1) = -2\) となります。よって $$ x = \frac{5\cdot(-1) - 1\cdot 1}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3, \quad y = \frac{1\cdot 1 - 1\cdot 5}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2 $$ です。2直線は \((3, 2)\) で交わります。
よくある質問
2直線が平行のときはどうなりますか？ 行列式が0で、かつ方程式が比例関係にない場合です。交点は存在せず、計算ツールは「平行」と表示します。
「一致」とはどういう意味ですか？ 2つの方程式がまったく同じ直線を表している状態です。その直線上のすべての点が交点になります。行列式も、各係数の補助行列式もすべて0になります。
傾きと切片の形(\(y = mx + b\))でも使えますか？ はい。\(y = mx + b\) を \(-mx + y = b\) に変換すれば、\(a = -m\)、\(b = 1\)、\(c = b\) として入力できます。
