兩直線交點計算器

輸入計算

a₁

b₁

c₁

直線 1：a₁x + b₁y = c₁

a₂

b₂

c₂

直線 2：a₂x + b₂y = c₂

結果

交點座標

(3, 2)

兩條直線相交的 (x, y) 座標

x 座標	3
y 座標	2
行列式 (a₁b₂ − a₂b₁)	-2

這個計算器的功能

這個工具可以找出兩條直線在座標平面上相交的唯一一點 (x, y)。每條直線都以一般式表示：\(a_1x + b_1y = c_1\) 與 \(a_2x + b_2y = c_2\)。只要輸入六個係數，計算器就會立即解出方程組，並告訴你這兩條線是相交於一點、互相平行（沒有交點），還是根本就是同一條線（有無限多個交點）。

兩條不平行的直線恰好相交於一個交點。

使用方法

先把每一條直線改寫成 \(ax + by = c\) 的形式。舉例來說，斜截式 \(y = 2x + 1\) 可以改寫成 \(-2x + 1y = 1\)（也就是 \(a = -2\)、\(b = 1\)、\(c = 1\)）。接著把兩條直線的 \(a\)、\(b\)、\(c\) 數值分別填入欄位，就能直接讀出交點座標。負數與小數係數都完全支援。

公式說明

本工具採用克拉默法則（Cramer's rule）來求解。關鍵在於行列式 \(D = a_1b_2 - a_2b_1\)。當 \(D \neq 0\) 時，方程組剛好有一組解：

$$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$$

當 \(D = 0\) 時，代表兩條線的斜率相同：若兩個方程式成比例，它們就重合為同一條線；否則就是互相平行，永遠不會相交。

實例演算

假設直線 1：\(x + y = 5\)，直線 2：\(x - y = 1\)。此時 \(a_1=1\)、\(b_1=1\)、\(c_1=5\)、\(a_2=1\)、\(b_2=-1\)、\(c_2=1\)。行列式為 \((1)(-1) - (1)(1) = -2\)。接著

$$x = \frac{5\cdot(-1) - 1\cdot 1}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3, \quad y = \frac{1\cdot 1 - 1\cdot 5}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$$

因此兩條線相交於 (3, 2)。

示範例題：虛線輔助線從交點引向每條座標軸。

常見問題

如果兩條線平行會怎樣？此時行列式為零，而且兩個方程式不成比例，所以沒有交點——計算器會回報「平行」。

「重合」是什麼意思？代表兩個方程式描述的是同一條直線，因此這條線上的每一點都是交點。此時主行列式與各個次行列式全部都等於零。

可以直接用斜截式嗎？可以——只要把 \(y = mx + b\) 轉換成 \(-mx + y = b\)，得到 \(a = -m\)、\(b = 1\)、\(c = b\) 即可。