Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula el único punto (x, y) donde se cruzan dos rectas en el plano de coordenadas. Cada recta se expresa en su forma general: \(a_1x + b_1y = c_1\) y \(a_2x + b_2y = c_2\). Solo tienes que introducir los seis coeficientes y la calculadora resuelve el sistema al instante, indicándote si las rectas se cortan en un único punto, son paralelas (sin intersección) o son la misma recta (infinitos puntos en común).
Cómo usarla
Reescribe cada recta en la forma \(ax + by = c\). Por ejemplo, la recta en forma explícita \(y = 2x + 1\) se convierte en \(-2x + 1y = 1\) (es decir, \(a = -2\), \(b = 1\), \(c = 1\)). Escribe los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) de ambas rectas en los campos correspondientes y lee directamente el punto de intersección. Se admiten sin problema coeficientes negativos y decimales.
La fórmula explicada
El sistema se resuelve mediante la regla de Cramer. La cantidad clave es el determinante \(D = a_1b_2 - a_2b_1\). Cuando \(D \neq 0\) existe una única solución:
$$x = \frac{\text{c}_1\,\text{b}_2 - \text{c}_2\,\text{b}_1}{D}, \quad y = \frac{\text{a}_1\,\text{c}_2 - \text{a}_2\,\text{c}_1}{D}$$Cuando \(D = 0\) las rectas tienen la misma pendiente: si las ecuaciones son proporcionales, coinciden; de lo contrario, son paralelas y nunca se cruzan.
Ejemplo resuelto
Tomemos la recta 1: \(x + y = 5\) y la recta 2: \(x - y = 1\). Aquí \(a_1=1\), \(b_1=1\), \(c_1=5\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=1\). El determinante es \((1)(-1) - (1)(1) = -2\). Entonces
$$x = \frac{5\cdot(-1) - 1\cdot 1}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3$$$$y = \frac{1\cdot 1 - 1\cdot 5}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$$Las rectas se cruzan en el punto (3, 2).
Preguntas frecuentes
¿Y si las rectas son paralelas? El determinante es cero y las ecuaciones no son proporcionales, por lo que no hay punto de intersección: la calculadora indica «paralelas».
¿Qué significa que sean coincidentes? Ambas ecuaciones describen la misma recta, así que todos sus puntos son puntos de intersección. Tanto el determinante principal como los secundarios valen cero.
¿Puedo usar la forma explícita (pendiente-ordenada)? Sí: basta con convertir \(y = mx + b\) en \(-mx + y = b\), de modo que \(a = -m\), \(b = 1\) y \(c = b\).
