ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تُحدِّد هذه الأداة النقطة الوحيدة (x، y) التي يتقاطع عندها خطان مستقيمان على المستوى الإحداثي. يُكتب كل خط في الصيغة العامة: \(a_1 x + b_1 y = c_1\) و \(a_2 x + b_2 y = c_2\). ما عليك سوى إدخال المعاملات الستة، لتقوم الحاسبة بحل النظام فورًا وإخبارك إن كان الخطان يتقاطعان في نقطة واحدة، أو متوازيين (لا يوجد تقاطع)، أو منطبقين تمامًا (عدد لا نهائي من نقاط التقاطع).
طريقة الاستخدام
أعِد كتابة كل خط في الصيغة \(ax + by = c\). على سبيل المثال، الخط المكتوب بصيغة الميل والمقطع \(y = 2x + 1\) يصبح \(-2x + 1y = 1\) (أي \(a = -2\)، \(b = 1\)، \(c = 1\)). أدخِل قيم \(a\) و\(b\) و\(c\) لكلا الخطين في الحقول المخصصة، واقرأ نقطة التقاطع مباشرةً. كما تدعم الحاسبة المعاملات السالبة والعشرية دون أي قيود.
شرح القانون
يُحَل النظام باستخدام قاعدة كرامر. والكمية الأساسية هنا هي المحدِّد \(D = a_1 b_2 - a_2 b_1\). فإذا كان \(D \neq 0\)، فهناك حل وحيد:
$$x = \frac{c_1\,b_2 - c_2\,b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1\,c_2 - a_2\,c_1}{D}$$أما إذا كان \(D = 0\)، فهذا يعني أن للخطين الميل نفسه: فإن كانت المعادلتان متناسبتين فالخطان منطبقان، وإلا فهما متوازيان ولا يلتقيان أبدًا.
مثال محلول
لنأخذ الخط الأول: \(x + y = 5\) والخط الثاني: \(x - y = 1\). هنا \(a_1=1\)، \(b_1=1\)، \(c_1=5\)، \(a_2=1\)، \(b_2=-1\)، \(c_2=1\). يكون المحدِّد \((1)(-1) - (1)(1) = -2\). ومنه $$x = \frac{5\cdot(-1) - 1\cdot 1}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3$$ و $$y = \frac{1\cdot 1 - 1\cdot 5}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$$ وبذلك يتقاطع الخطان عند النقطة (3، 2).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان الخطان متوازيين؟ في هذه الحالة يكون المحدِّد مساويًا للصفر والمعادلتان غير متناسبتين، فلا توجد نقطة تقاطع — وتُظهر الحاسبة كلمة «متوازيان».
ماذا يعني أن الخطين منطبقان؟ يعني أن المعادلتين تصفان الخط نفسه، فتكون كل نقطة عليه نقطة تقاطع. وفي هذه الحالة يساوي المحدِّد والمحدِّدات الفرعية كلها صفرًا.
هل يمكنني استخدام صيغة الميل والمقطع؟ نعم — كل ما عليك تحويل \(y = mx + b\) إلى \(-mx + y = b\)، فيكون \(a = -m\)، \(b = 1\)، \(c = b\).
