Máy Tính Giao Điểm Của Hai Đường Thẳng

Nhập phép tính

a₁

b₁

c₁

Đường 1: a₁x + b₁y = c₁

a₂

b₂

c₂

Đường 2: a₂x + b₂y = c₂

Kết quả

Giao điểm

(3, 2)

tọa độ (x, y) nơi hai đường thẳng cắt nhau

Hoành độ (x)	3
Tung độ (y)	2
Định thức (a₁b₂ − a₂b₁)	-2

Công cụ này làm được gì

Công cụ giúp bạn xác định tọa độ điểm (x, y) duy nhất nơi hai đường thẳng cắt nhau trên mặt phẳng tọa độ. Mỗi đường thẳng được viết dưới dạng tổng quát: \(a_1x + b_1y = c_1\) và \(a_2x + b_2y = c_2\). Bạn chỉ cần nhập sáu hệ số, máy tính sẽ giải hệ phương trình ngay lập tức và cho biết hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm, song song (không có giao điểm), hay trùng nhau (có vô số điểm chung).

Hai đường thẳng không song song cắt nhau tại đúng một điểm.

Cách sử dụng

Trước tiên, hãy đưa mỗi đường thẳng về dạng \(ax + by = c\). Ví dụ, đường thẳng dạng \(y = 2x + 1\) sẽ trở thành \(-2x + 1y = 1\) (tức \(a = -2\), \(b = 1\), \(c = 1\)). Nhập lần lượt các giá trị a, b, c của cả hai đường thẳng vào các ô tương ứng và đọc kết quả giao điểm. Công cụ hỗ trợ đầy đủ cả hệ số âm lẫn số thập phân.

Giải thích công thức

Hệ phương trình được giải bằng quy tắc Cramer. Đại lượng then chốt là định thức \(D = a_1b_2 - a_2b_1\). Khi \(D \neq 0\), hệ có nghiệm duy nhất:

$$x = \frac{c_1\,b_2 - c_2\,b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1\,c_2 - a_2\,c_1}{D}$$

Khi \(D = 0\), hai đường thẳng có cùng hệ số góc: nếu các phương trình tỉ lệ với nhau thì chúng trùng nhau, ngược lại thì chúng song song và không bao giờ gặp nhau.

Ví dụ minh họa

Xét Đường 1: \(x + y = 5\) và Đường 2: \(x - y = 1\). Ở đây \(a_1=1\), \(b_1=1\), \(c_1=5\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=1\). Định thức là

$$(1)(-1) - (1)(1) = -2$$

Khi đó

$$x = \frac{5\cdot(-1) - 1\cdot 1}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3 \quad \text{và} \quad y = \frac{1\cdot 1 - 1\cdot 5}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$$

Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm (3, 2).

Ví dụ minh họa: các đường dẫn nét đứt kẻ từ giao điểm xuống mỗi trục.

Câu hỏi thường gặp

Nếu hai đường thẳng song song thì sao? Khi đó định thức bằng 0 và các phương trình không tỉ lệ với nhau, nên không tồn tại giao điểm — máy tính sẽ báo "song song".

Trùng nhau nghĩa là gì? Cả hai phương trình cùng mô tả một đường thẳng duy nhất, nên mọi điểm trên đường thẳng đó đều là giao điểm. Lúc này định thức chính và các định thức phụ đều bằng 0.

Tôi có thể dùng dạng hệ số góc không? Hoàn toàn được — chỉ cần chuyển \(y = mx + b\) thành \(-mx + y = b\), tức \(a = -m\), \(b = 1\), \(c = b\).