이 계산기는 무엇을 하나요
이 도구는 좌표평면 위에서 두 직선이 만나는 단 하나의 교점 \((x, y)\)를 찾아줍니다. 각 직선은 일반형, 즉 \(a_1x + b_1y = c_1\)와 \(a_2x + b_2y = c_2\) 형태로 나타냅니다. 여섯 개의 계수를 입력하면 계산기가 곧바로 연립방정식을 풀어, 두 직선이 한 점에서 만나는지, 서로 평행해서 만나지 않는지, 아니면 완전히 같은 직선(교점이 무수히 많음)인지 알려줍니다.
사용 방법
먼저 각 직선을 \(ax + by = c\) 꼴로 정리합니다. 예를 들어 기울기-절편 형태인 \(y = 2x + 1\)은 \(-2x + 1y = 1\)로 바꿀 수 있습니다(이때 \(a = -2\), \(b = 1\), \(c = 1\)). 두 직선의 \(a\), \(b\), \(c\) 값을 각각 입력란에 넣으면 교점이 바로 표시됩니다. 음수와 소수 계수도 모두 지원합니다.
공식 설명
이 연립방정식은 크라메르 공식(Cramer's rule)으로 풉니다. 핵심이 되는 값은 행렬식 \(D = a_1b_2 - a_2b_1\)입니다. \(D \neq 0\)이면 해가 정확히 하나 존재하며, 다음과 같이 구합니다.
$$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$$\(D = 0\)이면 두 직선의 기울기가 같다는 뜻인데, 이때 두 방정식이 비례 관계이면 두 직선이 일치하고, 그렇지 않으면 평행하여 절대 만나지 않습니다.
예제 풀이
직선 1: \(x + y = 5\), 직선 2: \(x - y = 1\)을 생각해 봅시다. 여기서 \(a_1=1\), \(b_1=1\), \(c_1=5\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=1\)입니다. 행렬식은 \((1)(-1) - (1)(1) = -2\)입니다. 그러면
$$x = \frac{5 \cdot (-1) - 1 \cdot 1}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3, \quad y = \frac{1 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$$가 됩니다. 따라서 두 직선은 \((3, 2)\)에서 만납니다.
자주 묻는 질문
두 직선이 평행하면 어떻게 되나요? 행렬식이 0이고 두 방정식이 비례 관계가 아니라면 교점이 존재하지 않습니다. 이 경우 계산기는 "평행"이라고 표시합니다.
일치(coincident)란 무슨 뜻인가요? 두 방정식이 같은 직선을 나타내는 경우로, 직선 위의 모든 점이 교점이 됩니다. 이때 행렬식과 보조 행렬식이 모두 0이 됩니다.
기울기-절편 형태도 사용할 수 있나요? 네. \(y = mx + b\)를 \(-mx + y = b\)로 바꾸기만 하면 됩니다. 그러면 \(a = -m\), \(b = 1\), \(c = b\)가 됩니다.
