계산 입력

결과

교점

(3, 2)

두 직선이 만나는 교점 (x, y)

x좌표	3
y좌표	2
행렬식 (a₁b₂ − a₂b₁)	-2

이 계산기는 무엇을 하나요

이 도구는 좌표평면 위에서 두 직선이 만나는 단 하나의 교점 $(x, y)$를 찾아줍니다. 각 직선은 일반형, 즉 $a_1x + b_1y = c_1$와 $a_2x + b_2y = c_2$ 형태로 나타냅니다. 여섯 개의 계수를 입력하면 계산기가 곧바로 연립방정식을 풀어, 두 직선이 한 점에서 만나는지, 서로 평행해서 만나지 않는지, 아니면 완전히 같은 직선(교점이 무수히 많음)인지 알려줍니다.

좌표 격자에서 한 점에서 교차하는 두 직선 — 평행하지 않은 두 직선은 정확히 한 교점에서 만납니다.

사용 방법

먼저 각 직선을 $ax + by = c$ 꼴로 정리합니다. 예를 들어 기울기-절편 형태인 $y = 2x + 1$은 $-2x + 1y = 1$로 바꿀 수 있습니다(이때 $a = -2$, $b = 1$, $c = 1$). 두 직선의 $a$, $b$, $c$ 값을 각각 입력란에 넣으면 교점이 바로 표시됩니다. 음수와 소수 계수도 모두 지원합니다.

공식 설명

이 연립방정식은 크라메르 공식(Cramer's rule)으로 풉니다. 핵심이 되는 값은 행렬식 $D = a_1b_2 - a_2b_1$입니다. $D \neq 0$이면 해가 정확히 하나 존재하며, 다음과 같이 구합니다.

$$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$$

$D = 0$이면 두 직선의 기울기가 같다는 뜻인데, 이때 두 방정식이 비례 관계이면 두 직선이 일치하고, 그렇지 않으면 평행하여 절대 만나지 않습니다.

예제 풀이

직선 1: $x + y = 5$, 직선 2: $x - y = 1$을 생각해 봅시다. 여기서 $a_1=1$, $b_1=1$, $c_1=5$, $a_2=1$, $b_2=-1$, $c_2=1$입니다. 행렬식은 $(1)(-1) - (1)(1) = -2$입니다. 그러면

$$x = \frac{5 \cdot (-1) - 1 \cdot 1}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3, \quad y = \frac{1 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$$

가 됩니다. 따라서 두 직선은 $(3, 2)$에서 만납니다.

두 직선이 교차하고 점의 좌표가 점선 안내선으로 표시된 좌표 평면 — 풀이 예시: 교점에서 각 축으로 점선 안내선을 내립니다.

자주 묻는 질문

두 직선이 평행하면 어떻게 되나요? 행렬식이 0이고 두 방정식이 비례 관계가 아니라면 교점이 존재하지 않습니다. 이 경우 계산기는 "평행"이라고 표시합니다.

일치(coincident)란 무슨 뜻인가요? 두 방정식이 같은 직선을 나타내는 경우로, 직선 위의 모든 점이 교점이 됩니다. 이때 행렬식과 보조 행렬식이 모두 0이 됩니다.

기울기-절편 형태도 사용할 수 있나요? 네. $y = mx + b$를 $-mx + y = b$로 바꾸기만 하면 됩니다. 그러면 $a = -m$, $b = 1$, $c = b$가 됩니다.

두 직선의 교점 계산기