통경이란 무엇인가요?
원뿔곡선의 통경(latus rectum)은 초점을 지나면서 장축(또는 주축)에 수직인 현을 말합니다. 이 현의 길이는 곡선이 초점 근처에서 얼마나 "넓게" 벌어지는지를 나타내며, 포물선·타원·쌍곡선을 다룰 때 두루 등장합니다. 이 계산기는 통경 전체 길이와 함께 그 절반인 반통경(semi-latus rectum)도 함께 구해 줍니다.
계산기 사용법
먼저 원뿔곡선의 종류를 고릅니다. 포물선이라면 꼭짓점에서 초점까지의 거리인 a를 입력하세요(포물선은 \(y^2 = 4ax\) 형태로 씁니다). 타원이나 쌍곡선이라면 장축(또는 가로축)의 절반인 a와 단축(또는 켤레축)의 절반인 b를 입력합니다. '계산' 버튼을 누르면 통경의 길이가 나옵니다.
공식 설명
포물선의 통경은 \(4a\)입니다.
$$L = 4 \, \text{a}$$
타원(\(x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1\))과 쌍곡선(\(x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1\))의 통경은 모두 \(2b^2/a\)로 같습니다.
$$L = \dfrac{2 \, \text{b}^{2}}{\text{a}}$$
흔히 \(\ell\)로 표기하는 반통경은 이 값의 절반으로, 궤도 역학에서 쓰이는 극좌표 매개변수이기도 합니다.
예제 풀이
\(a = 5\), \(b = 3\)인 타원을 생각해 봅시다. 이때 $$L = \frac{2 \cdot (3^2)}{5} = \frac{2 \cdot 9}{5} = \frac{18}{5} = 3.6$$ 단위가 되고, 반통경은 \(1.8\) 단위입니다. \(a = 2\)인 포물선이라면 $$L = 4 \cdot 2 = 8$$ 단위입니다.
자주 묻는 질문
타원과 쌍곡선의 통경은 같나요? 공식 \(2b^2/a\)는 동일하며, 곡선을 정의하는 방정식의 부호만 다릅니다.
포물선에서 a는 무엇을 뜻하나요? \(y^2 = 4ax\)에서처럼 꼭짓점에서 초점까지의 거리(초점 거리)를 의미합니다.
반통경이란 무엇인가요? 통경의 절반으로, 원뿔곡선의 극방정식에서 쓰이는 표준 매개변수 \(p\)에 해당합니다.
