타원 둘레 계산기란?
타원은 두 개의 반지름으로 정의되는 달걀 모양의 곡선입니다. 중심에서 가장자리까지 가장 긴 거리인 장반축(a)과 가장 짧은 거리인 단반축(b)이 그것이죠. 타원의 면적은 간단히 구할 수 있지만, 둘레(둘레 길이)는 깔끔한 정확 공식이 존재하지 않아 무한급수로만 표현됩니다. 이 타원 둘레 계산기는 매우 정밀한 근사 공식을 사용해 둘레는 물론 면적과 이심률까지 한 번에 계산해 줍니다.
사용 방법
계산은 단 몇 초면 끝납니다.
- 더 긴 반지름인 장반축(a)의 길이를 입력하세요.
- 더 짧은 반지름인 단반축(b)의 길이를 입력하세요.
- 둘레, 면적, 이심률 결과가 즉시 표시됩니다.
두 값은 반드시 같은 단위(cm, m, 인치 등)로 입력해야 합니다. a와 b가 같으면 타원은 완전한 원이 되며, 이때 둘레는 \(2\pi r\)와 같아집니다.
공식 설명
가장 널리 쓰이는 근사식은 라마누잔의 두 번째 공식으로, 대부분의 타원에서 오차가 1퍼센트의 극히 일부에 불과할 만큼 정확합니다.
- 둘레 $$C \approx \pi\,(a+b)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right)$$ (여기서 \(h = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}\))
- 면적 $$A = \pi \times a \times b$$
- 이심률 $$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$$
이심률은 0(완전한 원)부터 거의 1(매우 납작하고 길쭉한 타원)까지의 값을 가집니다.
계산 예시
장반축 \(a = 5\,\text{cm}\), 단반축 \(b = 3\,\text{cm}\)인 타원을 예로 들어 보겠습니다.
- $$h = \frac{(5 - 3)^2}{(5 + 3)^2} = \frac{4}{64} = 0.0625$$
- $$C \approx \pi \times 8 \times \left(1 + \frac{3 \times 0.0625}{10 + \sqrt{4 - 0.1875}}\right) \approx 25.53\,\text{cm}$$
- $$A = \pi \times 5 \times 3 \approx 47.12\,\text{cm}^2$$
- $$e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{0.64} = 0.8$$
자주 묻는 질문
왜 둘레의 정확한 공식이 없나요? 타원의 둘레는 기본 함수로 표현할 수 없는 타원 적분을 포함하기 때문에, 라마누잔 공식과 같은 근사식을 대신 사용합니다.
결과는 얼마나 정확한가요? 라마누잔 근사식은 일반적인 타원에서 소수점 여러 자리까지 정확하며, 오차는 보통 0.01% 이하로 매우 작습니다.
이 도구로 원도 계산할 수 있나요? 가능합니다. a와 b를 같은 값으로 설정하면 계산기가 원의 둘레(\(2\pi r\))와 면적(\(\pi r^2\))을 반환합니다.
