Что такое калькулятор длины окружности эллипса?
Эллипс — это замкнутая кривая овальной формы, которую задают две полуоси: большая полуось (\(a\)) — наибольшее расстояние от центра до края, и малая полуось (\(b\)) — наименьшее. Площадь эллипса вычислить просто, а вот для его периметра (длины окружности) точной элементарной формулы не существует — она выражается через бесконечный ряд. Наш калькулятор использует очень точную аппроксимацию и одним нажатием выдаёт периметр, а также площадь и эксцентриситет.
Как пользоваться
Расчёт займёт буквально пару секунд:
- Введите длину большой полуоси (\(a\)) — большего радиуса.
- Введите длину малой полуоси (\(b\)) — меньшего радиуса.
- Сразу же получите готовые результаты: длину окружности, площадь и эксцентриситет.
Следите, чтобы оба значения были в одних и тех же единицах измерения (см, м, дюймы и т. д.). Когда \(a\) равно \(b\), эллипс превращается в правильную окружность, и его периметр равен \(2\pi r\).
Разбор формулы
Самая популярная аппроксимация — вторая формула Рамануджана, погрешность которой для большинства эллипсов составляет лишь крошечную долю процента:
- Длина окружности $$C \approx \pi\,(a+b)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right), \quad \text{где}\quad h = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}$$
- Площадь $$A = \pi \times a \times b$$
- Эксцентриситет $$e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$$
Эксцентриситет меняется от 0 (окружность) до значения, близкого к 1 (сильно вытянутый, «сплюснутый» эллипс).
Пример расчёта
Допустим, у эллипса \(a = 5\) см и \(b = 3\) см.
- $$h = \frac{(5 - 3)^2}{(5 + 3)^2} = \frac{4}{64} = 0{,}0625$$
- $$C \approx \pi \times 8 \times \left(1 + \frac{3 \times 0{,}0625}{10 + \sqrt{4 - 0{,}1875}}\right) \approx 25{,}53 \text{ см}$$
- $$A = \pi \times 5 \times 3 \approx 47{,}12 \text{ см}^2$$
- $$e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$$
Часто задаваемые вопросы
Почему нет точной формулы для периметра? Длина окружности эллипса выражается через эллиптический интеграл, который нельзя представить элементарными функциями. Поэтому на практике используют аппроксимации — например, формулу Рамануджана.
Насколько точен результат? Аппроксимация Рамануджана даёт точность до нескольких знаков после запятой для обычных эллипсов, а погрешность, как правило, не превышает 0,01 %.
Можно ли посчитать окружность с помощью этого инструмента? Да. Просто задайте \(a\) равным \(b\) — и калькулятор вернёт длину окружности круга (\(2\pi r\)) и его площадь (\(\pi r^2\)).
