حاسبة محيط القطع الناقص

أدخل الحساب

نصف المحور الأكبر (a):

نصف المحور الأصغر (b):

نتائج

نصف المحور الأكبر (a)	٥
نصف المحور الأصغر (b)	٣
المحيط	٢٥٫٥٢٧
الاختلاف المركزي	٠٫٨
المساحة	٤٧٫١٢٣٩

ما هي حاسبة محيط القطع الناقص؟

القطع الناقص (الإهليلج) هو منحنى بيضاوي الشكل يُعرَّف بنصفي قطر: نصف المحور الأكبر (\(a\))، وهو أطول مسافة من المركز إلى الحافة، ونصف المحور الأصغر (\(b\))، وهو أقصر مسافة. وبينما يَسهُل حساب مساحة القطع الناقص، فإن محيطه لا تُوجد له صيغة دقيقة بسيطة؛ إذ يتطلب حسابه متسلسلة لا نهائية. تعتمد هذه الحاسبة على تقريب عالي الدقة يمنحك المحيط إلى جانب المساحة والاختلاف المركزي في خطوة واحدة.

قطع ناقص مُعرَّف بنصف محوره الأكبر a ونصف محوره الأصغر b.

كيفية الاستخدام

لا يستغرق استخدام الحاسبة سوى ثوانٍ معدودة:

• أدخل طول نصف المحور الأكبر (\(a\)) — أي نصف القطر الأطول.
• أدخل طول نصف المحور الأصغر (\(b\)) — أي نصف القطر الأقصر.
• اطّلع على النتائج الفورية للمحيط والمساحة والاختلاف المركزي.

تأكد من استخدام الوحدة نفسها لكلا القيمتين (سنتيمتر، متر، بوصة، وما إلى ذلك). وعندما يتساوى \(a\) مع \(b\)، يتحول القطع الناقص إلى دائرة كاملة ويصبح المحيط مساويًا لـ \(2\pi r\).

شرح المعادلة

أشهر تقريب مستخدَم هو صيغة رامانوجان الثانية، وهي دقيقة إلى حدّ جزء ضئيل جدًا من النسبة المئوية لمعظم الأشكال الإهليلجية:

• المحيط $$C \approx \pi\,(a+b)\left(1 + \frac{3h}{10 + \sqrt{4 - 3h}}\right), \quad \text{حيث}\quad h = \frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}$$
• المساحة $$= \pi \times a \times b$$
• الاختلاف المركزي $$= \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$$

يتراوح الاختلاف المركزي بين 0 (دائرة) وما يقارب 1 (قطع ناقص شديد التفلطح والاستطالة).

اعلان

المحيط هو المسافة الكلية حول حدود القطع الناقص.

مثال محلول

لنفترض أن لدينا قطعًا ناقصًا حيث \(a = 5\) سم و \(b = 3\) سم.

• $$h = \frac{(5 - 3)^2}{(5 + 3)^2} = \frac{4}{64} = 0.0625$$
• $$\text{المحيط} \approx \pi \times 8 \times \left(1 + \frac{3 \times 0.0625}{10 + \sqrt{4 - 0.1875}}\right) \approx 25.53 \text{ سم}$$
• $$\text{المساحة} = \pi \times 5 \times 3 \approx 47.12 \text{ سم}^2$$
• $$\text{الاختلاف المركزي} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{0.64} = 0.8$$

الأسئلة الشائعة

لماذا لا توجد صيغة دقيقة لحساب المحيط؟ لأن حساب المحيط ينطوي على تكامل إهليلجي لا يمكن التعبير عنه بدوال أولية بسيطة، ولذلك تُستخدم تقريبات مثل تقريب رامانوجان بدلًا منه.

ما مدى دقة النتيجة؟ يتميز تقريب رامانوجان بدقة تصل إلى عدة منازل عشرية للأشكال الإهليلجية المعتادة، وعادةً ما تقل نسبة الخطأ فيه عن 0.01٪.

هل يمكنني حساب الدائرة بهذه الأداة؟ نعم. اجعل قيمة \(a\) مساوية لقيمة \(b\) فقط، وستعيد الحاسبة محيط الدائرة (\(2\pi r\)) ومساحتها (\(\pi r^2\)).