حاسبة مساحة القطع الناقص

أدخل الحساب

نصف المحور الأكبر (a):

نصف المحور الأصغر (b):

نتائج

مساحة القطع الناقص

٤٧٫١٢٣٩ وحدة مربعة

نصف المحور الأكبر (a)	٥ وحدة
نصف المحور الأصغر (b)	٣ وحدة
المساحة	٤٧٫١٢٣٩ وحدة مربعة
المحيط (تقريبي)	٢٥٫٩٠٦٢ وحدة
الانحراف	٠٫٨

ماذا تفعل حاسبة مساحة القطع الناقص؟

تحسب هذه الأداة الخصائص الهندسية الأساسية للقطع الناقص (الإهليلج) انطلاقًا من قياسين فقط: نصف المحور الأكبر ونصف المحور الأصغر. ما عليك سوى إدخال القيمتين لتظهر لك فورًا مساحة القطع الناقص ومحيطه ودرجة انحرافه. كما ترسم الحاسبة مخططًا متناسبًا لشكلك، حتى تتأكد بصريًا من تطابق الرسم مع الأرقام التي أدخلتها.

شرح القيمتين المدخلتين

• نصف المحور الأكبر (a): نصف طول أطول قطر في القطع الناقص، ويُقاس من المركز حتى أبعد نقطة على الحافة.
• نصف المحور الأصغر (b): نصف طول أقصر قطر، ويُقاس من المركز حتى أقرب نقطة على الحافة.

استخدم الوحدة نفسها لكلتا القيمتين (سنتيمتر، متر، بوصة، وما إلى ذلك). وإذا تساوت القيمتان، يتحول القطع الناقص إلى دائرة.

قطع ناقص يُظهر نصف المحور الأكبر (a) ونصف المحور الأصغر (b) مقاسين من المركز.

المعادلات المستخدمة

المساحة هي النتيجة الأبرز، وتُحسب بالمعادلة القياسية التالية:

$$\text{المساحة} = \pi \times a \times b$$

كما تحسب الأداة نتيجتين إضافيتين مباشرة من قيمك المدخلة:

• المحيط بالاعتماد على تقريب جذر متوسط المربعات: \(\text{المحيط} = 2\pi \times \sqrt{(a^2 + b^2) / 2}\). وهو تقدير سريع وقريب من الواقع، لأن المحيط الحقيقي للقطع الناقص لا يملك صيغة مغلقة بسيطة.
• الانحراف (Eccentricity) \(= \sqrt{1 - b^2/a^2}\)، وهو عدد بين 0 و1 يصف مدى "استطالة" القطع الناقص. فالقيمة القريبة من 0 تعني شكلًا يكاد يكون دائريًا، والقريبة من 1 تعني شكلًا شديد الاستطالة.

اعلان

المساحة المظللة للقطع الناقص تساوي باي في a في b.

مثال محلول

لنفترض أن a = 5 وأن b = 3.

• المساحة $$= \pi \times 5 \times 3 = 15\pi \approx \mathbf{47.12}$$ وحدة مربعة.
• المحيط $$\approx 2\pi \times \sqrt{(25 + 9) / 2} = 2\pi \times \sqrt{17} \approx \mathbf{25.91}$$ وحدة.
• الانحراف $$= \sqrt{1 - 9/25} = \sqrt{0.64} = \mathbf{0.80}$$، ما يدل على قطع ناقص واضح الاستطالة.

الأسئلة الشائعة

هل يجب وضع القيمة الأكبر في الخانة "a"؟ نعم، فبحسب العُرف يكون نصف المحور الأكبر (a) هو الأطول بين القياسين. وتفترض معادلة الانحراف أن \(a \geq b\)؛ فإذا أدخلت قيمة "a" أصغر من "b"، فلن تكون نتيجة الانحراف صحيحة. لذا ضع نصف المحور الأطول دائمًا في الخانة "a".

لماذا يكون المحيط تقريبيًا فقط؟ لأن حساب المحيط الدقيق للقطع الناقص يتطلب تكاملًا إهليلجيًا لا يمكن التعبير عنه بدوال أولية بسيطة. لذلك تعتمد هذه الحاسبة طريقة جذر متوسط المربعات السريعة، وهي دقيقة للأشكال غير المفرطة في الاستطالة.

ماذا يحدث إذا كانت a تساوي b؟ يصبح الشكل دائرة. عندها تصبح المساحة \(\pi r^2\)، والمحيط \(2\pi r\)، ويكون الانحراف مساويًا للصفر.