दीर्घवृत्त क्षेत्रफल कैलकुलेटर क्या करता है
यह कैलकुलेटर सिर्फ़ दो मापों से किसी दीर्घवृत्त (ellipse) के मुख्य ज्यामितीय गुण निकाल देता है — अर्ध-दीर्घ अक्ष और अर्ध-लघु अक्ष। दोनों मान डालते ही यह तुरंत दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल, उसका परिमाप (परिधि) और उत्केंद्रता बता देता है। साथ ही यह आपके दीर्घवृत्त का एक स्केल किया हुआ चित्र भी बनाता है, ताकि आप देख सकें कि आकार आपके आँकड़ों से मेल खाता है या नहीं।
दोनों इनपुट का मतलब
- अर्ध-दीर्घ अक्ष (a): दीर्घवृत्त के सबसे लंबे व्यास की आधी लंबाई — यानी केंद्र से सबसे दूर वाले किनारे तक की दूरी।
- अर्ध-लघु अक्ष (b): सबसे छोटे व्यास की आधी लंबाई — यानी केंद्र से सबसे पास वाले किनारे तक की दूरी।
दोनों के लिए एक ही इकाई इस्तेमाल करें (सेमी, मीटर, इंच आदि)। अगर दोनों मान बराबर हों, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त बन जाता है।
इस्तेमाल किए गए सूत्र
क्षेत्रफल सबसे मुख्य परिणाम है और यह इस मानक सूत्र से निकाला जाता है:
$$\text{क्षेत्रफल} = \pi \times a \times b$$
कैलकुलेटर आपके इनपुट से दो और चीज़ें भी सीधे निकालता है:
- परिमाप — मूल-माध्य-वर्ग (RMS) सन्निकटन के ज़रिए: \(\text{परिमाप} = 2\pi \times \sqrt{(a^2 + b^2) / 2}\)। यह एक तेज़ और काफ़ी पास का अनुमान है, क्योंकि दीर्घवृत्त के असली परिमाप का कोई सरल बंद सूत्र मौजूद नहीं है।
- उत्केंद्रता \(= \sqrt{1 - b^2/a^2}\), जो 0 और 1 के बीच की एक संख्या है और बताती है कि दीर्घवृत्त कितना "खिंचा हुआ" है। 0 के पास का मान लगभग वृत्त जैसा होता है; 1 के पास का मान बहुत अधिक लंबा-पतला आकार दर्शाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 5\) और \(b = 3\)।
- क्षेत्रफल $$= \pi \times 5 \times 3 = 15\pi \approx \mathbf{47.12}$$ वर्ग इकाई।
- परिमाप $$\approx 2\pi \times \sqrt{(25 + 9) / 2} = 2\pi \times \sqrt{17} \approx \mathbf{25.91}$$ इकाई।
- उत्केंद्रता $$= \sqrt{1 - 9/25} = \sqrt{0.64} = \mathbf{0.80}$$, यानी यह दीर्घवृत्त साफ़ तौर पर लंबा-पतला है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या बड़ा मान "a" में डालना चाहिए? परंपरा के अनुसार अर्ध-दीर्घ अक्ष (a) दोनों में से बड़ा होता है। उत्केंद्रता का सूत्र यह मानकर चलता है कि \(a \geq b\); अगर आप "a" में "b" से छोटा मान डालेंगे तो उत्केंद्रता का परिणाम सही नहीं आएगा। इसलिए लंबा अर्ध-अक्ष हमेशा "a" वाले खाने में डालें।
परिमाप सिर्फ़ अनुमान क्यों है? दीर्घवृत्त का सटीक परिमाप निकालने के लिए एक दीर्घवृत्तीय समाकलन (elliptic integral) चाहिए, जिसे सामान्य फलनों से व्यक्त नहीं किया जा सकता। यह कैलकुलेटर तेज़ मूल-माध्य-वर्ग विधि का इस्तेमाल करता है, जो उन दीर्घवृत्तों के लिए सटीक है जो बहुत ज़्यादा लंबे-पतले न हों।
अगर a और b बराबर हों तो? तब आकार एक वृत्त बन जाता है। क्षेत्रफल \(\pi r^2\), परिमाप \(2\pi r\) और उत्केंद्रता 0 हो जाती है।
