दीर्घवृत्त कैलकुलेटर क्या है?
दीर्घवृत्त एक बंद वक्र होता है, जिसमें दो स्थिर बिंदुओं (नाभियों) से वक्र पर किसी भी बिंदु तक की दूरियों का योग हमेशा एक समान रहता है। यह कैलकुलेटर दीर्घवृत्त को परिभाषित करने वाले दो मापों — अर्ध-दीर्घ अक्ष a (सबसे लंबे व्यास का आधा) और अर्ध-लघु अक्ष b (सबसे छोटे व्यास का आधा) — को लेकर पल भर में उसका क्षेत्रफल, परिमाप, उत्केंद्रता और नाभीय दूरी निकाल देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अर्ध-दीर्घ अक्ष a और अर्ध-लघु अक्ष b को किसी भी एक समान इकाई (सेमी, मीटर, इंच आदि) में भरें और 'गणना करें' पर क्लिक करें। क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में आता है, जबकि परिमाप और नाभीय दूरी उसी रैखिक इकाई में मिलते हैं जिसमें आपने मान भरे थे। यदि आप मानों को गलत क्रम में दर्ज कर देते हैं, तब भी उत्केंद्रता और नाभीय दूरी सही ही निकलती है, क्योंकि कैलकुलेटर स्वतः बड़े मान को दीर्घ अक्ष मान लेता है।
सूत्रों की व्याख्या
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल बिल्कुल सटीक होता है: \(A = \pi\cdot a\cdot b\)। जब \(a = b\) होता है, तो दीर्घवृत्त एक वृत्त बन जाता है और यह सूत्र \(\pi r^{2}\) में बदल जाता है। परिमाप का कोई सरल बंद रूप नहीं होता, इसलिए हम रामानुजन के प्रसिद्ध सन्निकटन सूत्र \(P \approx \pi\left[3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\) का उपयोग करते हैं, जो सामान्य आकृतियों के लिए एक करोड़ में एक भाग से भी कम त्रुटि के साथ सटीक रहता है। उत्केंद्रता \(e = \sqrt{1-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}}\) बताती है कि दीर्घवृत्त कितना खिंचा हुआ है: 0 का मतलब है एकदम पूर्ण वृत्त, जबकि 1 के करीब के मान अधिकाधिक चपटी आकृति को दर्शाते हैं। नाभीय दूरी \(c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}\) केंद्र से प्रत्येक नाभि तक की दूरी बताती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a = 5\) और \(b = 3\):
$$A = \pi\cdot 5\cdot 3 = 15\pi \approx 47.12 \text{ वर्ग इकाई}$$$$P \approx \pi\left[3(8)-\sqrt{18\cdot 14}\right] = \pi\left[24-\sqrt{252}\right] \approx \pi\cdot 8.124 \approx 25.527 \text{ इकाई}$$$$e = \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \sqrt{0.64} = 0.8$$$$c = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$$अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह किन इकाइयों का उपयोग करता है? आप कोई भी इकाई इस्तेमाल कर सकते हैं — बस \(a\) और \(b\) दोनों एक ही इकाई में हों; क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में मिलेगा।
परिमाप केवल अनुमानित क्यों होता है? दीर्घवृत्त के वास्तविक परिमाप के लिए एक दीर्घवृत्तीय समाकलन (elliptic integral) की जरूरत होती है, जिसका कोई प्रारंभिक बंद रूप नहीं है। रामानुजन का सूत्र एक बेहद सटीक और तेज़ अनुमान देता है।
उत्केंद्रता 0 का क्या मतलब है? उत्केंद्रता 0 होने का मतलब है \(a = b\), यानी दीर्घवृत्त वास्तव में एक वृत्त है।
