橢圓計算機

輸入計算

半長軸 (a)

半短軸 (b)

結果

橢圓面積

47.12

平方單位

周長（拉馬努金近似）	25.527
離心率	0.8
焦距 (c)	4

什麼是橢圓計算機？

橢圓是一條封閉曲線，曲線上任一點到兩個固定點（即「焦點」）的距離總和始終保持不變。這個計算機只需要橢圓的兩個關鍵尺寸——半長軸 a（最長直徑的一半）與半短軸 b（最短直徑的一半），就能立即算出面積、周長、離心率與焦距。

橢圓的結構：半長軸 a、半短軸 b、中心與焦點。

使用方法

輸入半長軸 a 與半短軸 b，使用任何一致的單位都可以（公分、公尺、英吋等皆可）。按下計算後，面積會以平方單位顯示，周長與焦距則以你輸入的長度單位呈現。即使你不小心把兩個數值的順序填反了也沒關係——計算機會自動把較大的數值當作長軸，因此離心率與焦距依然會正確算出。

公式說明

橢圓的面積有精確公式：$$A = \pi\,a\,b$$當 \(a = b\) 時，橢圓就變成圓形，公式也會化簡為 \(\pi r^{2}\)。周長沒有簡單的封閉公式，因此我們採用拉馬努金（Ramanujan）著名的近似公式 $$P \approx \pi\left[\,3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}\,\right]$$對於常見的橢圓形狀，其誤差小於千萬分之一，相當精準。離心率 $$e = \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}$$用來描述橢圓被拉長的程度：0 代表完美的圓形，而越接近 1 則表示形狀越扁平。焦距 \(c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}\) 則代表中心點到每個焦點的距離。

焦點到中心的距離為 c，其中 \(c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}\)。

實例演算

以 \(a = 5\)、\(b = 3\) 為例：面積 $$A = \pi\cdot 5\cdot 3 = 15\pi \approx 47.12 \text{ 平方單位}$$周長 $$P \approx \pi\left[3(8) - \sqrt{18\cdot 14}\right] = \pi\left[24 - \sqrt{252}\right] \approx \pi\cdot 8.124 \approx 25.527 \text{ 單位}$$離心率 $$e = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{0.64} = 0.8$$焦距 $$c = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$

常見問題

它使用什麼單位？任何單位都可以——只要 \(a\) 和 \(b\) 用同一種單位即可，面積會以該單位的平方呈現。

為什麼周長是近似值？橢圓的真正周長需要用到橢圓積分，沒有初等的封閉公式可以表示。拉馬努金公式是一個既快速又極為精準的近似方法。

離心率為 0 代表什麼意思？離心率為 0 表示 \(a = b\)，也就是說這個橢圓其實是一個圓形。